（本小题满分12分）

已知等差数列满足。

（Ⅰ）求通项的通项公式及的最大值;

（Ⅱ）设,求数列的其前项和.

（本题满分12分）已知数列中，，前项和与通项满足，求通项的表达式.

已知函数，数列的项满足： ，（1）试求

（2） 猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明.

【解析】第一问中，利用递推关系,

,   

第二问中，由（1）猜想得：然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（数学归纳法证明）i) ,  ,命题成立

ii) 假设时，成立

则时，

综合i),ii) : 成立

口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。

（I）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望。

（II）设第n次由甲摸球的概率为的递推关系，并求数列的通项公式。