过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q₁，设Q₁在x轴上的投影为P₁，又过P₁做曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影为P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的横坐标为a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求证数列{a_n}是等比数列．
（3）设bn=

16an+13

16an-3

，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．