（本题满分13分）

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍．

（1）写出此数列的前项；

（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

（本题满分13分）

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍．

（1）写出此数列的前项；

（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

(本小题满分13分)

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第层第个竖直通道（从左至右）的概率为．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）

（Ⅰ）求的值，并猜想的表达式．（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为，

其中，试求的分布列及数学期望．

(本小题满分13分)

已知f(x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1).

设f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)…(n∈N^?)是首项为m²，公比为m的等比数列.

(1)求证：数列{a_n}是等差数列；

(2)若b_n＝a_n·f(a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；

(3)若c_n＝f(a_n)lgf(a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，

求出m的范围；若不存在，请说明理由.