摘要：11．已知函数f(x).当x.y∈R时.恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)．(1)求证:f(x)是奇函数,(2)如果x∈R+.f(x)<0.并且f(1)＝-.试求f(x)在区间[-2,6]上的最值． 解:(1)证明:∴函数定义域为R.其定义域关于原点对称． ∵f(x+y)＝f(x)+f(y).令y＝-x.∴f(0)＝f(x)+f(-x)．令x＝y＝0.∴f(0)＝f(0)+f(0).得f(0)＝0.∴f(x)+f(-x)＝0.得f(-x)＝-f(x).∴f(x)为奇函数． (2)法一:设x.y∈R+.∵f(x+y)＝f(x)+f(y).∴f(x+y)-f(x)＝f(y)． ∵x∈R+.f(x)<0.∴f(x+y)-f(x)<0.∴f(x+y)<f(x)．∵x+y>x.∴f(x)在上是减函数．又∵f(x)为奇函数.f(0)＝0.∴f(x)在上是减函数．∴f(-2)为最大值.f(6)为最小值．∵f(1)＝-.∴f(-2)＝-f(2)＝-2f(1)＝1.f(6)＝2f(3)＝2[f(1)+f(2)]＝-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1.最小值为-3. 法二:设x1<x2.且x1.x2∈R.则f(x2-x1)＝f[x2+(-x1)]＝f(x2)+f(-x1)＝f(x2)-f(x1)．∵x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(-2)为最大值.f(6)为最小值．∵f(1)＝-.∴f(-2)＝-f(2)＝-2f(1)＝1.f(6)＝2f(3)＝2[f(1)+f(2)]＝-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1.最小值为-3.

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