题目内容
已知函数f(x)=(a-1 | 2 |
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
分析:(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1,e]上为增函数,所以f(1)为最小值,f(e)为最大值,求出即可;(2)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).证g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立即得证.求出g′(x)分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出a的范围即可.
1 |
2 |
解答:解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
x2+lnx,f′(x)=x+
=
.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
,fmin(x)=f( 1 )=
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
=
=
.
①若a>
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
.
当x2>x1=1,即
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
≤0?a≥-
.
由此求得a的范围是[-
,
].
综合①②可知,当a∈[-
,
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
1 |
2 |
1 |
x |
x2+1 |
x |
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1 |
2 |
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
1 |
x |
(2a-1)x2-2ax+1 |
x |
(x-1)[(2a-1)x-1] |
x |
①若a>
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2 |
1 |
2a-1 |
当x2>x1=1,即
1 |
2 |
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1 |
2 |
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
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1 |
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由此求得a的范围是[-
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综合①②可知,当a∈[-
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点评:考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力.以及综合运用函数解决数学问题的能力.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
是定义域上的递减函数,则实数a的取值范围是( )
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A、(
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B、(
| ||||
C、(
| ||||
D、[
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