题目内容

已知函数f(x)=(a-
12
)x2+lnx
.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
分析:(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1,e]上为增函数,所以f(1)为最小值,f(e)为最大值,求出即可;(2)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
,则g(x)的定义域为(0,+∞).证g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立即得证.求出g′(x)分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出a的范围即可.
解答:解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
2
x2+lnx
f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x

对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
fmax(x)=f(e)=1+
e2
2
fmin(x)=f( 1 )=
1
2

(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx
,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
g′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x

①若a>
1
2
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a-1

当x2>x1=1,即
1
2
<a<1
时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
1
2
≤0
?a≥-
1
2

由此求得a的范围是[-
1
2
1
2
].
综合①②可知,当a∈[-
1
2
1
2
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
点评:考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力.以及综合运用函数解决数学问题的能力.
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