摘要：所以当时.f(x)在区间[0.1]上单调递减.
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已知
．
（１）求
的单调区间；
（２）证明：当
时，
恒成立；
（３）任取两个不相等的正数
，且
，若存在
使
成立，证明：
．
【解析】（1）g(x)=lnx+
，
=
（1’）
当k
0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+
），无减区间；
当k>0时，
>0,得x>k；
<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),
的变化情况如表
|
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
|
－ |
0 |
+ |
|
h(x) |
e－2 |
|
0 |
↗ |
↘所以h(x)0, ∴f(x)2x-e
（5’）
设G(x)=lnx-
(x1) 
=
=
0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx
(x1)成立,所以f(x) 
,综上,当x1时, 2x-ef(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0 –lnx
=
-1–lnx=
=
=
(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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下列四个命题：
①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log3x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是13；
③y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，f(x)=(
)x；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log34）的值是
．
其中正确命题是 ．
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①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log3x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是13；
③y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，f(x)=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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其中正确命题是
下列四个命题：
①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log3x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是13；
③y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，f(x)=(
)x；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log34）的值是
．
其中正确命题是 ______．
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①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log3x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是13；
③y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，f(x)=(
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其中正确命题是 ______．
；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log34）的值是
．
；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log34）的值是
．