摘要：18． 如图.已知正方形和矩形所在平面互相垂直. ..是线段的中点. (1)求证:∥平面, (2)求二面角的大小, (3)试问:在线段上是否存在一点.使得直线 与所成角为? 解:方法一:(1)记与的交点为,连接, ∵.分别是.的中点.是矩形. ∴四边形是平行四边形.∴∥. ∵平面BDE.平面. ∴∥平面. ------------------------ 4分 (2)在平面中过作于.连结. . ∴⊥平面. ∴⊥.又 平面 . ∴是二面角的平面角. --------------- 6分 在中.∴ ∴二面角的大小为. ------------------ 9分 (3)设(),作于Q.则∥. ∵... ∴⊥平面. 平面.∴. 在中... ∵为等腰直角三角形.∴ 又∵Δ为直角三角形.∴. ∴ 或． ∴点是的中点. --------------------- 14分 方法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设.连接. 则点.的坐标分别是(.,∴(, 又点.的坐标分别是().(.∴=( ∴=且与不共线.∴∥. 又∵平面BDE.平面.∴∥平面. ------- 4分 (2).∴⊥平面. ∴为平面的法向量. ∵=(·=0. ∴·=(·. 得, ∴为平面的法向量. ∴<,>.∴与的夹角是. 即所求二面角的大小是. ------------------ 9分 (3)设 .得.∴. 又∵和所成的角是. . 解得或.即点是的中点. ----------- 14分

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