（本题满分14分）

（理）已知数列{a_n}的前n项和，且=1，

.

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xⁿ⁺¹在(0,+∞)上是凹函数，试判断b_n与b_n+1的大小；

（III）求证：≤b_n<2.

（本题满分14分）已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．

 （I）若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

 （Ⅱ）设直线l为函数 y＝f (x) 的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

注：e为自然对数的底数．

（本题满分14分）

（理）已知数列{a_n}的前n项和，且=1，

.（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xⁿ⁺¹在(0,+∞)上是凹函数，试判断b_n与b_n+1的大小；

（III）求证：≤b_n<2.

（本题满分14分）已知函数（是常数）

(I) 求函数的单调区间；

(II) 当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(III) 求证:当时．

（本题满分14分）已知函数（是常数）

(I) 求函数的单调区间；

(II) 当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(III) 求证:当时．