说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1.B  2.B  3.D  4.D  5.C  6.C  7.C  8.B  9.A  10.A  11.B  12.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13．－160     14．    15．576     16．

三、解答题

17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

（Ⅰ）证明： 连结CF.

……4分

（Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则

……………………8分

解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.

设AB=a，则   …………8分

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.

，的边长为.………12分

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.  设AB=x，球半径为R.

.……12分

18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和

三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.

（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则 

………………4分

（Ⅱ）解法一：

其中………8分   当最大.……10分

所以，当最大. S的最大值为…………12分

解法二： 因为 所以

……………………8分

令S′=0，即

可解得  ………………10分

所以，当时，S最大，S的最大值为  …………12分

19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。

   （Ⅰ）证明：当  因为a₁=1，

所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

   （1）当n=1时，b₁=，不等式成立，

   （2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么     ………………6分

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。  …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以 

…………10分 

故对任意………………（12分）

20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建

立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12

分.

（Ⅰ）解：…………2分

（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是

5

2.5

P

0.68

0.32

2.5

1.5

P

0.6

0.4

 …………6分

作出可行域（如图）：

作直线 

将l向右上方平移至l₁位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，此时                …………10分

取最大值. 解方程组     

       得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分

21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应

用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

由P在椭圆上，得

由，所以 ………………………3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

      由椭圆第二定义得，即

       由，所以…………………………3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 

           当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分

解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

       当|时，由，得.

       又，所以T为线段F₂Q的中点.

       设点Q的坐标为（），则

       因此                          ①

       由得        ②

       将①代入②，可得

       综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分

   （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

       由③得，由④得  所以，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是

       由④得  上式代入③得

       于是，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时，记，

       由知，所以…………14分

22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

   （Ⅰ）解：…………………………………………2分

   （Ⅱ）证明：令

        因为递减，所以递增，因此，当；

        当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

        对任意成立的充要条件是

       另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

       于是的充要条件是…………………………10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                                                  ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

       对任意成立的充要条件是

        ………………………………………………………………8分

       令，于是对任意成立的充要条件是

        由

       当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分

       综上，不等式对任意成立的充要条件是

                ①

       显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式  ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分