化简得(当时也满足)．——青夏教育精英家教网——

摘要：化简得(当时也满足)．

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请先阅读：
设可导函数 f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=

xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2

xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2

+…+(-1)n-2n(n-1)

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请先阅读：
设可导函数 f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式

（x∈R，整数n≥2），证明：

；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：

．
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设可导函数 f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=

xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2

xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2

+…+(-1)n-2n(n-1)

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设函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)的极值.

所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=x³-3x,点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x₀,y₀),则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.

因f′(x₀)=3(x₀²-1),故切线的方程为y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀).

注意到点A(0,16)在切线上,有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀),

化简得x₀³=-8,解得x₀=-2.

所以切点为M(-2,-2),

切线方程为9x-y+16=0.

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已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若过点引曲线C的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在的直线方程；

（3）以曲线的左顶点为圆心作圆：，设圆与曲线交于点与点，求的最小值，并求此时圆的方程.

【解析】第一问利用（1）过点作直线的垂线，垂足为D.

代入坐标得到

第二问当斜率k不存在时，检验得不符合要求；

当直线l的斜率为k时，；，化简得

第三问点N与点M关于X轴对称，设，，不妨设．

由于点M在椭圆C上，所以．

由已知，则

，

由于，故当时，取得最小值为．

计算得，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：

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