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“因为四边形ABCD为矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提为( )
A.矩形都是对角线相等的四边形 B.正方形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形
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如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积
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如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为正方形,,,分别是,的中点.
(I)求证:平面;
(II)求证:;
(III)设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.
【解析】第一问利用线面平行的判定定理,,得到
第二问中,利用,所以
又因为,,从而得
第三问中,借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.
(Ⅰ)证明: 分别是的中点,
,. …4分
(Ⅱ)证明:四边形为正方形,.
, .
, ,
.,. ………8分
(Ⅲ)解:连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,
∴
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