求证：定义在实数集上的单调减函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个公共点．

（2013•山东）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F₁，F₂，离心率为

3

2

，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明

1

kk1

+

1

kk2

为定值，并求出这个定值．

给出下列五个命题：
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则直线y=

b

a

x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于P₁P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

1

2

．
其中，正确命题的序号为．

已知点A（-1，2），B（0，1），动点P满足|PA|=

2

|PB|．
（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（Ⅱ）若点Q在直线l₁：3x-4y+12=0上，直线l₂经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

已知函数m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x）．若F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设函数g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．