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已知直三棱柱中, , , 是和的交点, 若.
(1)求的长; (2)求点到平面的距离;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中,利用ACCA为正方形, AC=3
第二问中,利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=,第三问中,利用三垂线定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB
CHE为二面角C-AB-C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ……………………… 3分
=(2, -, -), =(0, -3, -h) ……… 4分
·=0, h=3
(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C-AB-C的大小满足cos== ……… 11分
二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为
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设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.[来源:学。科。网]
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【解析】第一问解:因为f(x)=lnx,g(x)=ax+
则其导数为
由题意得,
第二问,由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有
解:因为f(x)=lnx,g(x)=ax+
则其导数为
由题意得,
(11)由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有
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