摘要：在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的.说明正弦定理.余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标.要求根据向量的关系解答相关的问题. [例6] 已知角A.B.C为△ABC的三个内角.其对边分别为a.b.c.若＝.a＝2.且·＝． (Ⅰ)若△ABC的面积S＝.求b+c的值． (Ⅱ)求b+c的取值范围． [分析] 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程.再利用二倍角公式求得A角.然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b.c的方程组求取b+c的值,第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式.进而求得b+c的范围. [解] .＝.且·＝. ∴-cos2+sin2＝.即-cosA＝. 又A∈.∴A＝. 又由S△ABC＝bcsinA＝.所以bc＝4. 由余弦定理得:a2＝b2+c2-2bc·cos＝b2+c2+bc.∴16＝(b+c)2.故b+c＝4. (Ⅱ)由正弦定理得:＝＝＝＝4.又B+C＝p-A＝. ∴b+c＝4sinB+4sinC＝4sinB+4sin. ∵0＜B＜.则＜B+＜.则＜sin(B+)≤1.即b+c的取值范围是(2.4]. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积.三角恒等变换及三角形中的正弦定理.余弦定理.面积公式.三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意:第(Ⅰ)小题中求b+c没有利用分别求出b.c的值为解.而是利用整体的思想.使问题得到简捷的解答,小题的求解中特别要注意确定角B的范围. [专题训练]

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