摘要：5． (1)设是各项均不为零的等差数列().且公差.若将此数列删去某一项得到的数列是等比数列: ①当时.求的数值,②求的所有可能值, (2)求证:对于一个给定的正整数.存在一个各项及公差都不为零的等差数列.其中任意三项都不能组成等比数列. [解析]:本小题考查等差数列.等比数列的综合应用. (1)①当n=4时, 中不可能删去首项或末项.否则等差数列中连续三项成等比数列.则推出d=0. 若删去.则.即化简得.得 若删去.则.即化简得.得 综上.得或. ②当n=5时, 中同样不可能删去.否则出现连续三项. 若删去.则.即化简得.因为.所以不能删去, 当n≥6时.不存在这样的等差数列.事实上.在数列中.由于不能删去首项或末项.若删去.则必有.这与矛盾,同样若删去也有.这与矛盾,若删去中任意一个.则必有.这与矛盾.(或者说:当n≥6时.无论删去哪一项.剩余的项中必有连续的三项) 综上所述.. (2)假设对于某个正整数n.存在一个公差为d的n项等差数列.其中()为任意三项成等比数列.则.即.化简得 (*) 由知.与同时为0或同时不为0 当与同时为0时.有与题设矛盾. 故与同时不为0.所以由(*)得 因为.且x.y.z为整数.所以上式右边为有理数.从而为有理数. 于是.对于任意的正整数.只要为无理数.相应的数列就是满足题意要求的数列. 例如n项数列1...--.满足要求.

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