摘要：19．. 如图.在直三棱柱中.平面侧面 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若.直线AC与平面所成的角为.二面角 (Ⅰ)证明:如右图.过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D.则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B. 得AD⊥平面 A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1. 故AB⊥BC. (Ⅱ)证法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角.∠ABA1就是二面角A1-BC-A的颊角.即∠ACD＝θ.∠ABA1=j. 于是在RtΔADC中.sinθ=,在RtΔADA1中.sin∠AA1D＝, ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角.所以θ＝∠AA1D. 又由RtΔA1AB知.∠AA1D+j＝∠AA1B+j＝.故θ+j＝. 证法2:由(Ⅰ)知.以点B为坐标原点.以BC.BA.BB1所在的直线分别为x轴.y轴.z轴.建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=c(c＜a＝.则B.A(0,c,0).C(), A1(0,c,a).于是.＝(0.c,a), ,=(0,c,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z), 则由 可取n＝(0.-a.c).于是 n·=ac＞0.与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=, cosj= 所以sinq=cosj=sin(),又0＜q.j＜.所以q+j=.

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