已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+

1

2

且f（

1

2

）=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若对任意实数x，不等式f（ax²+ax+1）≥f（2x²+2x）恒成立，求实数a的取值范围．

已知不等式x²-5x-6≤0的解集是A，函数f（x）=log₂（a-x）的定义域为集合B．
（1）求集合A；
（2）若A∩B=A，求a的取值．

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（II）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，点M、N分别是CC₁、BC的中点，动点P在线段A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求证：PN⊥AM恒成立；
（3）当λ=1时，线段AB上是否存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN，若存在，求出点Q的位置，若不存在，请说明理由．

（2012•湛江模拟）已知函数f（x）的图象由函数g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1个单位得到．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（3）若函数f（x）的最小值是m，且m＞

7

，求实数a的取值范围．