Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，点M、N分别是CC₁、BC的中点，动点P在线段A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求证：PN⊥AM恒成立；
（3）当λ=1时，线段AB上是否存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN，若存在，求出点Q的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义即可得出；
（2）利用正方形的性质、三角形全等、线面垂直的判定和性质即可证明；
（3）通过结论空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式即可得出．

解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∴A₁A⊥AB，
又∵AC⊥AB，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥AM，
∴∠MAC即为二面角M-AB-C的平面角．
∵AC=1，则CM=

1

2

，∴AM=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
∴cos∠CAM=

AC

AM

=

2 5

5

．
（2）取AC的中点K，连接NK、A₁K．则NK∥AB．
由（1）可知：NK⊥平面ACC₁A₁．
∴NK⊥AM．
在正方形ACC₁A₁中，由△A₁AK≌△ACM，可得∠MAC=∠KA₁A，
∴∠MAC+∠AKA1=90°，即AM⊥A₁K．
又NK∩A₁K=K，
∴AM⊥A₁PNK．
∴PN⊥AM．
（3）当λ=1时，假设线段AB上存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN?点M到底面ANP的距离=2点Q到底面ANP的距离．下面通过建立空间直角坐标系来证明．
建立如图所示的坐标系．
则A（0，0，0），P(-

1

2

，0，1)，N(-

1

2

，

1

2

，0)，M(0，1，

1

2

)．

AP

=(-

1

2

，0，1)，

AN

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

AM

=(0，1，

1

2

)．
设Q（0，k，0），则-1≤k≤0，

AQ

=(0，k，0)．
设平面ANP的法向量为

n

=（x，y，z）．
则

n • AP =0 n • AN =0

即

- 1 2 x+z=0 - 1 2 x+ 1 2 y=0

，令z=1，则x=y=2，
∴

n

=(2，2，1)．
∴

| n • AM |

| n |

=

| n • AQ |

| n |

，得2+

1

2

=|2k|，解得k=±

5

4

，不满足条件-1≤k≤0，因此线段AB上不存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN．

点评：熟练掌握线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义、正方形的性质、三角形全等、三棱锥的条件计算公式、点到直线的距离公式是解题的关键．