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对于函数f(x)＝ax3(a≠0)，有以下说法：
①x＝0，是f(x)的极值点；
②当a＜0时，f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；
③f(x)的图像与(1，f(1))处的切线必相交于一点；
④若a＞0且x≠0，则f(x)＋f(
)有最小值2a．
其中说法正确的序号是________
7、9、10班同学做乙题，其他班同学任选一题，若两题都做，则以较少得分计入总分．
（甲）已知f(x)=ax－ln(－x)，x∈[－e，0），
，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.
（1）若a=－1，求f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，
；
（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由.
（乙）定义在（0，＋∞）上的函数
，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.
（1）若函数f(x)在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f(x)为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f(x)在（0，＋∞）上是否为单调函数；
（3）当x∈（0，1）时，记g(x)=lnf(x)＋x2－ax. 试证明：对
，当n≥2时，有
已知下列四个命题：
①若函数y＝f(x)在x0处的导数
(x0)＝0，则它在x＝x0处有极值；
②若不论m为何值，直线y＝mx＋1均与曲线
有公共点，则b≥1；
③若x、y、z∈R+，a＝x＋
，b＝y＋
，c＝z＋
，则a、b、c中至少有一个不小于2；
④若命题“存在x∈R，使得|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则|a＋1|＞2；
以上四个命题正确的是________(填入相应序号)．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
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