题目内容

7、9、10班同学做乙题,其他班同学任选一题,若两题都做,则以较少得分计入总分.

(甲)已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),,其中e=2.718 28…是自然对数的底数,a∈R.

(1)若a=-1,求f(x)的极值;

(2)求证:在(1)的条件下,

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.

(乙)定义在(0,+∞)上的函数,其中e=2.718 28…是自然对数的底数,a∈R.

   (1)若函数f(x)在点x=1处连续,求a的值;

(2)若函数f(x)为(0,1)上的单调函数,求实数a的取值范围;并判断此时函数f(x)在(0,+∞)上是否为单调函数;

(3)当x∈(0,1)时,记g(x)=lnf(x)+x2ax. 试证明:对,当n≥2时,有

解:(甲)(1)∵f(x)=-x-ln(-x),f´(x)= -1

∴当-ex<-1时, f´(x)<0,此时f(x)单调递减,当-1<x<0时,f´(x)>0,

此时f(x) 单调递增,∴f(x)的极小值为f(-1)=1。

(2)∵f(x)的极小值即f(x)在[-e,0)上的最小值为1,∴| f(x)|min=1,

h(x)=g(x)+, 又∴h´(x)=,∴当-ex<0时, h´(x) <0,且h(x)在x=-e处连续

h(x)在[-e,0)上单调递减,∴h(x)max=h(-e)=

∴当x[-e,0)时,

(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)有最小值3, [-e,0), f´(x)=

①当a时, 由于(-e,0), 则f´(x)=af(x) 在x=-e处连续

∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,∴f(x)min=f(-e)= -ae-1=3,

解得a=(舍去).

②当a时, 则当-ex时,f´(x)=a 此时f(x)=ax-ln(-x) 是减函数,

时,f´(x)=a 此时f(x)=ax-ln(-x) 是增函数,

f(x)min=f()=1-ln()=3,解得a=-e2.

       由①、②知,存在实数a=-e2,使得当 [-e,0),时f(x)有最小值3.

(乙)(1)∵f(1)=1,

已知f(x)在点x=1处连续,∴有ea-1=1. ∴a=1.

(2)当x∈(0,1)时,

此时,

,∴不可能在(0,1)上恒小于0.

f(x)在(0,1)上必为增函数. ∴-2x2ax+10在(0,1)上恒成立.

在(0,1)上恒成立.

x∈(0,1). ∵u(x)在(0,1)上是增函数,u(x)<1.

∴当a≥1时,f(x)在(0,1)上是增函数.

又当a=1时,f(x)在(0,+∞)上也是增函数;

a>1时,∵

此时,f(x)在(0,+∞)上不是增函数.

(3)当x∈(0,1)时,g(x)=lnf(x)+x2ax=lnx. 当n≥2时,

欲证

即证

需证

即需证

猜想:,其中t∈(0,1).

下面证明之. 构造函数t∈(0,1).

,∴h(t)在(0,1)上是减函数,而

h(t)>0,即有 同理,设s(t)=lntt+1,t∈(0,1).

,∴s(t)在(0,1)上是增函数,而

s(t)<0,即有 故有,其中t∈(0,1).

分别取,有

相加,得

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