摘要： 关于直线方程形式间的互化方法. [典型例题] 例1. 已知直线过点P.且与两坐标轴围成三角形面积为5.求直线l的方程. 解: 例2. 如图.已知直线l经过点P(3.2).且与x轴.y轴的正半轴分别交于点A.B. (1)求三角形AOB面积的最小值及此时直线l的方程. (2)求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程. 解:.B 法二: 法三: ∵a为实数.∴△≥0 法四:过P分别作x轴.y轴的垂线PM.PN.并设θ＝∠PAM＝∠BPN (2)法一: 法二: 例3. 已知直线mx+ny+12＝0在x轴.y轴上的截距分别是-3和4.求m.n的值. 分析:(1)将直线方程化成截距式后求出直线在两轴上的截距.解关于m.n的方程组.(2)由已知条件.直线经过点A.由此得m.n的方程组.解之即可. 解法1:由截距意义知.直线经过A两点.因此有 解法2:将方程mx+ny+12＝0化为截距式.得: 例4. 解析: 例5. 距离相等. 分析:.则有y＝3x+1.故点P的坐标为.由距离公式得x的方程.解得x＝0. .求出两点的中垂线方程为x+y-1＝0.再解方程组得P(0.1). 解法1:设P(x.y).则有y＝3x+1 故点P的坐标为 解之得:x＝0 ∴所求的点为P(0.1) 解法2:设P所连线段的中垂线方程为: 解由<1>.<2>组成的方程组得:P(0.1) 例6. (1)证明直线l过定点, (2)若直线l交x轴负半轴于A.交y轴正半轴于B.△AOB的面积为S.求S的最小值.并求此时直线l的方程, (3)若直线不经过第四象限.求k的取值范围. 分析:(1)证直线系过定点.可用分离参数法. (2)求△AOB面积S的最小值.应先求出目标函数S＝f(k).再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法. (3)直线不经过第四象限的充要条件是:直线在x轴上的截距小于或等于-2.在y轴上的截距大于或等于1.或由直线经过定点知斜率大于或等于零. 解:(1)直线l的方程是: ∴无论k取何值.直线总经过定点 (2)由l的方程.得: 解得:k＞0 解之得:k＞0 小结:本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法 .也是证明曲线系过定点的一般方法. 例7. 分析:利用所求直线上任意一点P关于点A的对称点P’在已知直线上的关系求解. 解:设P(x.y)为所求直线上任一点.则: ∵线段PP’的中点为A 注意:本题是一个关于点对称的直线的求法问题.要注意利用点对称的特点求解. 例8. 一根弹簧挂6公斤的物体时.长11 cm.挂9公斤的物体时.长17 cm.已知弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示.用两点式表示这个方程.并根据这个方程.求弹簧长为13 cm时所挂物体的重量. 解:以Ow为横坐标轴.以Ol为纵坐标轴建立直角坐标系 由题意知直线过点 由直线的两点式方程得所求直线的方程为: ∴w＝7 即弹簧长为13 cm时所挂物体的重量为7公斤. 小结:因为弹簧长l和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示.并且弹簧挂6公斤的物体时.长11 cm,弹簧挂9公斤的物体时.长17 cm.所以直线过点.由直线方程的两点式求出l.w关系.得解. 例9. 解: 小结:由直线方程的一般式求直线的倾斜角时.须先求其斜率.这时通常把直线方程化成斜截式(若直线没有斜率即y的系数为0.则直线的倾斜角为90°.此时直线方程没有斜截式).然后根据斜率再求直线的倾斜角.当直线的斜率k≥0时.直线的倾斜角为arctank,当直线的斜率k＜0时.直线的倾斜角为π+arctank. 例10. 证明:如图所示.过P(x1.y1)作直线垂直于x轴.交直线l于M 设M点的坐标为(x1.y2).则: ∵P在M的上方 小结: 点P在直线的上方或下方就是指在同横坐标时.P的纵坐标大于或小于直线上的点对应的纵坐标. [模拟试题]

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