题目内容

已知双曲线的焦点在y轴上,两顶点间的距离为4,渐近线方程为y=±2x.

(Ⅰ)求双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中双曲线的焦点F1,F2关于直线y=x的对称点分别为F1′,F2′,求以F1′,F2′为焦点,且过点P(0,2)的椭圆方程.

解:(Ⅰ)因为双曲线的焦点在y轴上,设所求双曲线的方程为

                  由题意,得解得a=2,b=1.

         所求双曲线的方程为…………………………………………6分

       (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得F1(0,-),F2(0,).

点F1,F2关于直线y=x的对称点分别为F1′(-,0),F2′(,0),又P(0,2),设椭圆方程为(m>n>0).

          由椭圆定义,得2m=

因为m2-n2=5,所以n2=4.

所以椭圆的方程为.………………………………………12分

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