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在棱长为
的正方体
中,
是线段
的中点,
.
(1) 求证:
^
；
(2) 求证://平面
；
(3) 求三棱锥
的表面积.
【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用
，得到结论，第二问中，先判定
为平行四边形，然后
，可知结论成立。
第三问中，
是边长为
的正三角形，其面积为
，
因为
平面
，所以
，
所以
是直角三角形，其面积为
，
同理
的面积为
，
面积为
. 所以三棱锥的表面积为
.
解: (1)证明：根据正方体的性质
，
因为
，
所以
，又
，所以，
，
所以^.
………………4分
(2)证明：连接
，因为
，
所以为平行四边形，因此
，
由于是线段的中点，所以， …………6分
因为
面，
平面，所以∥平面. ……………8分
(3)是边长为的正三角形，其面积为，
因为平面，所以，
所以是直角三角形，其面积为，
同理的面积为，
……………………10分
面积为. 所以三棱锥的表面积为
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如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点，且
.
（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB1；
（Ⅱ）求证： B1M⊥平面AMG.
【解析】本试题主要是考查了立体几何汇总线面的位置关系的运用。第一问中，要证CN∥平面AMB1；，只需要确定一条直线CN∥MP，既可以得到证明
第二问中，∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC，得到线线垂直，B1M⊥AG，结合线面垂直的判定定理和性质定理，可以得证。
解：(Ⅰ)设AB1 的中点为P，连结NP、MP ………………1分
∵CM 
，NP ，∴CM
NP， …………2分
∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP …………………………3分
∵CN 平面AMB1，MP奂 平面AMB1，∴CN∥平面AMB1…4分
(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1 B1 B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1 B1 B，∴B1M⊥AG………………6分
∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1 C，
设：AC=2a，则
…………………………8分
同理，
…………………………………9分
∵ BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
………………………………10分
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