摘要：56．恒成立不等式问题通常解决的方法:借助相应函数的单调性求解.其主要技巧有数形结合法.分离变量法.主元法.
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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+
（a、b是正常数）在区间(0，
)上为减函数，在区间(
，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式f(x)-
＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
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（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+
| b |
| x |
|
|
| m |
| 2 |
（1）证明下列命题：
已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．
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已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．
的前
项和为
，对任意的正整数
成立，记
。
的通项公式；
，设数列
的前
，求证：对任意正整数
；
。已知正实数
满足：对任意正整数
恒成立，求
（k∈R）是偶函数．
（a、b是正常数）在区间
上为减函数，在区间
上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式
恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．