（2012•茂名二模）在数列{a_n}中，a_n=

n(n+1)

2

．则
（1）数列{a_n}的前n项和S_n=；
（2）数列{S_n}的前n项和T_n=．

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*，n≥2）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（K∈N^*）时，（a_k-a_k-1）²=1，令S（A_n）=

n

i=1

ai．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能的值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列A_n，使得S（A_n）=

(n-3)2

4

？若存在，求出数列A_n；若不存在，说明理由．

考察下列一组不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*，N≥3）．
（1）求证：a3=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

；
（2）若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，求正整数n的值．