题目内容

设M1（0，0），M2（1，0），以M1为圆心，|M1 M2|为半径作圆交x轴于点M3（不同于M2），记作⊙M1；以M2为圆心，|M2 M3|为半径作圆交x轴于点M4（不同于M3），记作⊙M2；…；
以Mn为圆心，|Mn Mn+1|为半径作圆交x轴于点Mn+2（不同于Mn+1），记作⊙Mn；…
当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn．考察下列论断：
当n=1时，|A1B1|=2；
当n=2时，|A2B2|=
15
；
当n=3时，|A3B3|=
35×42+23-1
3
；
当n=4时，|A4B4|=
35×43-24-1
3
；
…
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，|AnBn|=
 
．
分析：由已知中当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn的相关论断：当n=1时，|A1B1|=2；当n=2时，|A2B2|=
15
；当n=3时，|A3B3|=
35×42+23-1
3
；当n=4时，|A4B4|=
35×43-24-1
3
；…分析表达式中4的指数，第二项的系数，及2的指数的变化趋势，即可得到答案．
解答：解：由已知中，
当n=1时，|A1B1|=2=
35×40-(-1)121-1
3
；
当n=2时，|A2B2|=
15
=
35×41-(-1)222-1
3
；
当n=3时，|A3B3|=
35×42+23-1
3
=
35×42-(-1)323-1
3
；
当n=4时，|A4B4|=
35×43-24-1
3
=
35×43-(-1)424-1
3
；
…
∴对于n∈N*，|AnBn|=
35×4n-1-(-1)n2n-1
3

故答案为：
35×4n-1-(-1)n2n-1
3
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
练习册系列答案
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已知二项式(x-
m
x
)6展开式中不含x的项为-160；设f1(x)=
m
1+x
，定义fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=
fn(0)-1
fn(0)+2
，其中n∈N*．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=
4n2+n
4n2+4n+1
，其中n∈N*，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由．
已知椭圆
x2
3
+
y2
4
=1的焦点F与抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点关于直线x-y=0对称．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知定点A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b2≠4a），M是抛物线C上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点为M1，M2．求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1，M2存在且M1≠M2）直线M1M2恒过一定点，并求出这个定点的坐标．
已知向量
m1
=（0，x），
n1
=（1，1），
m2
=（x，0），
n2
=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量
m
=
m1
+ 
2
n2
，
n
=
m2
-
2
n1
，且
m
∥
n
，点P（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=
4
3
2
时，求直线 l 的方程．
设动圆M满足条件p：经过点F(
1
2
，0)，且与直线l：x=-
1
2
相切；记动圆圆心M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点M1为轨迹C上纵坐标为m的点，以M1为圆心满足条件p的圆与x轴相交于点F、A（A在F的右侧），又直线AM1与轨迹C相交于两个不同点M1、M2，当OM1⊥OM2（O为坐标原点）时，求m的值．
已知圆C经过点A（1，2）、B（3，0），并且直线m：2x-3y=0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，3），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点E、F，若|EF|≥2
3
，求k的取值范围；
（3）若圆C关于点(
3
2
，1)对称的曲线为圆Q，设M（x1，y1）、P（x2，y2）（x1≠±x2）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

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