摘要： 如图.直线l经过点A(1.0).且与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2.1).过点P(p.p-1)(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线y＝(x＞0)和y＝-(x＜0)于M.N两点. (1)求m的值及直线l的解析式, (2)若点P在直线y＝2上.求证:△PMB∽△PNA, (3)是否存在实数p.使得S△AMN＝4S△APM?若存在.请求出所有满足条件的p的值,若不存在.请说明理由. [答案](1)∵点B(2.1)在双曲线y＝上. ∴.得m＝2. 设直线l的解析式为y＝kx+b ∵直线l过A(1.0)和B(2.1) ∴.解得 ∴直线l的解析式为y＝x-1. (2) 证明:当x＝p时.y＝p-1.点P(p.p-1)(p＞1) 在直线l上.如图. ∵P(p.p-1)(p＞1)在直线y＝2上. ∴p-1＝2.解得p＝3 ∴P(3.2) ∵PN∥x轴.∴P.M.N的纵坐标都等于2 把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝.得M(1,2),N ∴.即M是PN的中点. 同理:B是PA的中点. ∴BM∥AN ∴△PMB∽△PNA. (3)由于PN∥x轴.P(p.p-1)(p＞1). ∴M.N.P的纵坐标都是p-1(p＞1) 把y＝p-1分别代入双曲线y＝(x＞0)和y＝-(x＜0). 得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝-(其中p＞1) ∵S△AMN＝4S△APM且P.M.N在同一直线上. ∴,得MN=4PM 即＝4(p-).整理得:p2-p-3＝0. 解得:p＝ 由于p＞1.∴负值舍去 ∴p＝ 经检验p＝是原题的解. ∴存在实数p.使得S△AMN＝4S△APM. p的值为.

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