题目内容
（本题满分12分）
情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
解：情境观察
AD（或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ.
拓展延伸
结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
解析:略
阅读快车系列答案（本题满分12分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为
．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数
的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
| x | … |
|
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| 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| y | … |
|
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| … |
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数
(x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为
．探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数
的图象性质．① 填写下表，画出函数的图象：
| x | … |  |  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| y | … | | | | | | | | … |
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数
(x＞0)的最小值．解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
