摘要：如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠C=90°.BC=16.CD=12.DA=21.动点P从点D出发.沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发.在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P.Q分别从点D.C同时出发.当Q运动到点B时.点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒). (1)设△BPQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式, (2)当t为何值时.以B.P.Q三点为顶点的三角形是 等腰三角形? (3)当线段PQ与线段AB相交于点O.且2AO=OB时. 求∠BQP的正切值, (4)是否存在时刻t.使得PQ⊥BD?若存在.求出t的 值,若不存在.请说明理由. 解:(1)首先0≤t≤16.如图.过点P作PM⊥BC.垂足为M. 则四边形PDCM为矩形.PM=DC=12.∵QB=16-t. ∴S=12×÷2=96-t.0≤t≤16. (2)设△BPQ是等腰三角形.分三种情况:①PQ=BQ. 在Rt△PMQ中.PQ2=t2+122=BQ2=2.解得t=3.5,②BP=BQ.在Rt△PMB中.BP2=2+122=BQ2=2.即3t2-32t+144=0.无解.③PB=PQ.由PB2=PQ2.得t2+122=2+122.整理得3t2-64t+256=0,解得.综上可知.答案为t=3.5或秒. (3)如图.由△OAP∽△OBQ.得. ∵AP=2t-21,BQ=16-t, ∴2=16-t, , 过点Q作QE⊥AD.垂足为E.∵PD=2t.ED=QC=t. ∴PE=t.在Rt△PEQ中, (4)设存在时刻t.使得PQ⊥BD.如图.过点Q作QE⊥AD. 垂足为E.易见Rt△BDC∽Rt△QPE, ,即 .解得t=9.所以当t=9秒时.PQ⊥BD.

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