摘要： (1)假设有两个不同的点(.).(.)对应同一函数.即与相同. 即 对一切实数x均成立. 特别令x=0.得a=c,令.得b=d这与(a.b).(c.d)是两个不同点矛盾.假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数. (2)当时.可得常数a0.b0.使 . 由于为常数.设是常数. 从而. (3)设.由此得 (.) 在映射F下.的原象是(m.n).则M1的原象是 消去t得.即在映射F下.M1的原象是以原点为圆心.为半径的圆． 第二讲 数列 陕西特级教师 安振平 l 高考风向标 数列的概念．等差数列及其通项公式.前n项和公式,等比数列及其通项公式.前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容.递推数列在各地的高考中闪亮登场． l 典型题选讲 例1 若数列{an}满足若.则的值为 ( ) A． B． C． D． 讲解 逐步计算.可得 , 这说明数列{an}是周期数列.而, 所以．应选B． 点评 分段数列问题是一种新问题.又涉及到周期数列.显示了以能力立意.题活而不难的特色． 例2 在等比数列{an}中.前n项和为Sn.若Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列.则am, am+2, am+1成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题, (2)判断逆命题是否为真.并给出证明. 讲解 (1)逆命题:在等比数列{an}中.前n项和为Sn.若am, am+2, am+1成等差数列.则 Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列. (2)设{an}的首项为a1.公比为q 由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 , ∴2q2-q-1=0 , ∴q=1或q=-. 当q=1时. ∵Sm=ma1. Sm+2= (m+2)a1.Sm+1= (m+1)a1. ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm.Sm+2.Sm+1不成等差数列. 当q=-时, 2 Sm+2=, ∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm.Sm+2.Sm+1成等差数列． 综上得:当公比q=1时.逆命题为假, 当公比q≠1时.逆命题为真． 点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在.问题好在分类.活在逆命题亦假亦真二者兼顾.可谓是一道以知识呈现.能力立意的新颖试题． 例3 设数列{an}前n的项和为 Sn.且其中m为常数. (1)求证:{an}是等比数列, (2)若数列{an}的公比满足q=f(m)且.为等差数列.并求． 讲解(1)由.得 两式相减.得 是等比数列． 点评 为了求数列的通项.用取＂倒数＂的技巧.得出数列的递推公式.从而将其转化为等差数列的问题． 例4 设数列的前n项和为Sn.若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. (1)求数列的通项公式(用S1和q表示), (2)试比较的大小.并证明你的结论. 讲解 (1)∵是各项均为正数的等比数列. ∴． 当n=1时.a1=S1, 当． ∴ (2)当n=1时. ∴． ∵ ①当q=1时. ②当 ③当 综上以上.我们可知:当n=1时.．当 若 若 点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题.我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式: 例5 已知数列满足>0.且对一切n∈N*.有. (1) 求证:对一切n∈N*.有, (2) 求数列的通项公式, (3) 求证:． 讲解 (1) 由 ① 得 ② ②-①得 =(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1 ∵ an+1 >0. ∴ ． (2) 由.得 . 两式相减.得 (an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an. ∵an+1+ an >0. ∴an+1 - an =1． 当n=1.2时易得.a1=1.a2=2.∴an+1 - an =1 ． 从而{ an}是等差数列.其首项为a1=1.公差d=1.故an=n ． (3) 点评 关于数列不等式的证明.常用的技巧是放缩法.而放缩应特别注意其适度性.不可过大.也不可过小． 例6 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴.y轴及其平行方向上运动.且每秒移动一个单位长度． (1)设粒子从原点到达点时.所经过的时间分别为.试写出的通相公式, (2)求粒子从原点运动到点时所需的时间, (3)粒子从原点开始运动.求经过2004秒后.它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设.当粒子从原点到达时.明显有 - - ∴＝, . , ． , , 即. (2)有图形知.粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加＝28秒.所以秒． (3)由2004.解得.取最大得n=44, 经计算.得＝1980<2004.从而粒子从原点开始运动.经过1980秒后到达点.再向左运行24秒所到达的点的坐标为． 点评 从起始项入手.逐步展开解题思维．由特殊到一般.探索出数列的递推关系式.这是解答数列问题一般方法.也是历年高考命题的热点所在． 例7 已知数列的前项和满足. (1)写出数列的前三项, (2)求数列的通项公式, (3)证明:对任意的整数.有 . 讲解 (1)为了计算前三项的值.只要在递推式中.对取特殊值.就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由 由 由 (2)为了求出通项公式.应先消除条件式中的．事实上 当时.有 即有 从而 -- 接下来.逐步迭代就有 经验证a1也满足上式.故知 其实.将关系式和课本习题作联系.容易想到:这种差异的消除.只要对的两边同除以.便得 ． 令就有 . 于是 . 这说明数列是等比数列.公比 首项.从而.得 . 即 . 故有 (3)由通项公式得 当且n为奇数时. 当为偶数时. 当为奇数时.为偶数.可以转化为上面的情景 故任意整数m>4.有 点评 本小题2004年全国高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式.等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题.显然与课本上的问题有着相同的本质．而第3小题又有着明显的高等数学的背景.体现了知识与技能的交汇.方法与能力的提升.显示了较强的选拔功能． l 针对性演练 1 某人要买房.随着楼层的升高.上下楼耗费的精力增多.因此不满意度升高.当住第n层楼时.上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新.嘈杂音较小.环境较为安静.因此随楼层升高环境不满意度降低.设住第n层楼时.环境不满意度为.则此人应选( ) 2楼 4楼

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