摘要：设函数.函数.其中为常数且.令函数为函数和的积函数. (1)求函数的表达式.并求其定义域, (2)当时.求函数的值域, (3)是否存在自然数.使得函数的值域恰为?若存在.试写出所有满足条件的自然数所构成的集合,若不存在.试说明理由. 解:(1).. (2)∵.∴函数的定义域为.令.则.. ∴. ∵时..又时.递减.∴单调递增. ∴.即函数的值域为. (3)假设存在这样的自然数满足条件.令.则. ∵.则.要满足值域为.则要满足. 由于当且仅当时.有中的等号成立.且此时恰为最大值. ∴. 又在上是增函数.在上是减函数.∴. 综上.得 .

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