摘要： 如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1 和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 解法一: (Ⅰ)．连结AC.BD.设.由P-ABCD与Q-ABCD 都是正四棱锥.所以PO⊥平面ABCD.QO⊥平面ABCD. 从而P.O.Q三点在一条直线上.所以PQ⊥平面ABCD. (II)由题设知.ABCD是正方形.所以．由(I).平面.故可以分别以直线CA.DB.QP为轴.轴.轴建立空间直角坐标系.由题设条件.相关各点的坐标分别是.. 所以,,于是 从而异面直线AQ与PB所成的角是. .点D的坐标是(0.-.0).. .设是平面QAD的一个法向量. 由 得. 取x=1.得. 所以点P到平面QAD的距离. 解法二: (Ⅰ)．取AD的中点M.连结PM.QM.因为P-ABCD与Q-ABCD 都是正四棱锥.所以AD⊥PM.AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. 又平面PQM.所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB.所以PQ⊥平面ABCD. (Ⅱ)．连结AC.BD设.由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上.从而P.A.Q.C四点共面. 取OC的中点N.连结PN． 因为.所以. 从而AQ∥PN.∠BPN是异面直线AQ 与PB所成的角.连接BN. 因为． 所以． 从而异面直线AQ与PB所成的角是． 知.AD⊥平面PQM.所以平面PQM⊥平面QAD. 过P作PH⊥QM 于H.则PH⊥平面QAD.所以PH的长为点P到平面QAD的距离． 连结OM.则.所以. 又PQ＝PO+QO＝3.于是. 即点P到平面QAD的距离是.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_4468921[举报]