如图，已知二次函数的图像开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。
（1）证明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圆C的半径为1，求该二次函数的解析式；
（3）对题（2）中所求出的二次函数，在其图像上是否存在点P （点P与点A不重合），使得△POC是以PC为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。