摘要：22． 探索 在如图12-1至图12-3中.△ABC的面积为a ． (1)如图12-1, 延长△ABC的边BC到点D.使CD=BC.连结DA．若△ACD的面积为S1.则S1= (用含a的代数式表示), (2)如图12-2.延长△ABC的边BC到点D.延长边CA到点E.使CD=BC.AE=CA.连结DE．若△DEC的面积为S2.则S2= (用含a的代数式表示).并写出理由, (3)在图12-2的基础上延长AB到点F.使BF=AB.连结FD. FE.得到△DEF．若阴影部分的面积为S3. 则S3= (用含a的代数式表示)． 发现 像上面那样.将△ABC各边均顺次延长一倍.连结所得端点.得到△DEF.此时.我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现.扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍． 应用 去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模.把△ABC向外进行两次扩展.第一次由△ABC扩展成△DEF.第二次由△DEF扩展成△MGH．求这两次扩展的区域面积共为多少m2?
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阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则S△ABD=S△ACD=
S△ABC．
理由：∵BD=CD，∴S△ABD=
BD×AH=
CD×AH=S△ACD=
S△ABC，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？
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三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则S△ABD=S△ACD=
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理由：∵BD=CD，∴S△ABD=
| 1 |
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| 1 |
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| 1 |
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即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？
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阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则
．
理由：∵BD=CD，∴
=
，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=______（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=______（用含a的代数式表示）．
拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？
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（2012•南京二模）情境一
我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN=
．
问题1 填空：如图1，如果
的度数是80，那么∠LMN的度数是
情境二
小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．
如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），
∴∠PTQ=
，∠P=
．
∴∠O=∠PTQ-∠P=
-
=
（
-
）．
经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．
问题2 填空：如图2，如果
=80°，
=20°，那么∠O=
问题3 类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．
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我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN=
| 1 |
| 2 |
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| LN |
问题1 填空：如图1，如果
|
| LN |
40
40
．情境二
小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．
如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），
∴∠PTQ=
| 1 |
| 2 |
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| PQ |
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| 2 |
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| RT |
∴∠O=∠PTQ-∠P=
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| PQ |
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| RT |
| 1 |
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| PQ |
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| RT |
经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．
问题2 填空：如图2，如果
|
| PQ |
|
| RT |
30
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°．问题3 类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．
（2006•河北）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．则这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为
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在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
a
a
（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
2a
2a
（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
6a
6a
（用含a的代数式表示）．发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
7
7
倍．应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．则这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为
480
480
m2．
操作与探究
探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
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探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1=
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2=
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3=
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
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