摘要：22．在圆内接四边形ABCD中.CD为∠BCA外角的平分线.F为弧AD上一点.BC=AF.延长DF与BA的延长线交于E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证AC•AF=DF•FE [解题思路](1)利用同角的补角相等.同弧所对的圆周角相等.等量代换, (2)证等积式就要找三角形相似.发现AC.AF.FE所在的三角形.且利用等弧对等弦.同圆中等弦对等弧.发现DF可以被DC替换.进而求解. [答案]⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB.∠DCA=∠DBA.而∠MCD=∠DCA.所以∠DBA=∠DAB.故△ABD为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ∴弧BC=弧AF.∠CDB=∠FDA ∴弧CD=弧DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角 知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①.∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ∴AC:FE=CD:AF ∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF. ∴AC•AF=DF•FE [点评]解决此题关键要用到与圆相关的性质.定理以及三角形相似的判定.等角对等边. 有一定的几何知识的综合性.考查学生审图.分析图中边角关系的解题技能. 难度中等

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