北京市人大附中2007届摸底考试数学试卷（文科）
命题人：罗 霞
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共40分）
注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
3．考试结束，将答题卡和第II卷3至8页试卷一并交回.
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U=R，
是
（ ）
A．
B． 
C．
D．
2．若条件
则
成立的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3．二项式
的展开式中常数项为 （ ）
A．70 B．
0
4. 已知曲线
在
点处的切线与曲线
在点处的切线互相平行，则
的值为
（ ）
A. 0 B. 0或
C. D.0 或
5．给出下面的四个命题：
（1）两个侧面为矩形的四棱柱是直四棱柱；
（2）平行六面体
（3）若
（4）
其中正确的命题的个数是（ ）
A. 1
B.
6．已知函数
是
上的减函数，那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在正方体的八个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 （ ）
A．
B． 
C．
D．
8．一个机器人每一秒钟是前进或者后退一步，现在程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动. 如果将机器人放在数轴的原点，面向轴的正方向，以1步的距离（机器人的每步的距离一样长）为1个单位长度. 令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0，则下列结论中
错误的是 （ ）
A. P(3)=3 B. P(5)=
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_________，___________，____________辆．
10．函数
的反函数是
．
11．在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为
．（写出范围在
内的解）
12．设
在
上是单调递增函数，则实数的取值范围为 ．
13．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
14．读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 .
①已知命题
与命题
，若是的充分不必要条件，则
是
的充分不必要条件；
②若函数
对定义域中的
总有
是奇函数；
③函数
的图象关于点（－1，－2）成中心对称；
④已知f(x)是R上的函数，且满足f(x+2)= f(x)，当x
时，f(x)=
，
则
2007.5)的值为0.5．
二、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本题满分12分）已知集合
，并且满足
求实数的取值范围．
16. （本题满分13分）在8件产品中,有5件合格品,3件次品.从中任意取出4件，求下列事件发生的概率.
（Ⅰ）取出2件合格品或3件合格品 ；
（Ⅱ）至少取出一件次品.
17. (本题满分13分)
已知函数
在
与
时都取得极值.
（1）
求
的值与函数的单调区间；
（2）
若对Î
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
18. (本小题满分14分)
如图，四棱锥
中，
底面
,
且
，
与
底面成
角，点
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）当
时，求异面直线
所成的角.
19．（本题满分14分）
设函数＝
的图象关于直线－
＝0对称.
（1）求
的值；
（2）判断并证明函数在区间（1，＋∞）上的单调性；
（3）若直线＝（∈R）与的图象无公共点，且
＜2＋
，求实数
的取值范围．
20.（本小题满分14分）
对于函数
，若存在实数
，使
成立，则称为
的不动点.
（1）当
时，求的不动点；
（2）若对于任何实数
，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若
的图象上
、
两点的横坐标是函数的不动点，且直线
是线段
的垂直平分线，求实数的最小值.
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空题：
9．6、30、10；
10．
；
11．
；
12．
；
13．{
0<
≤3}；
14．③④
三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解： 
； ………5分
方程
有非正实数根
综上：
……………………12分
16. 解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A、B，则
∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
答： 取出2件合格品或3件合格品的概率为…………6分
（Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C，则P（C）=
至少取出一件次品的事件为事件C的对立事件,其概率为
答：至少取出一件次品的概率为
.…………13分
17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋
a＝
，b＝－2。。。。。。。。。4分
f¢（x）＝3
2－－2＝（3＋2）（－1），函数f（x）的单调区间如下表：
（－¥，－
）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
¯
极小值
所以函数f（）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）
递减区间是（－，1）。。。。。。。。。。。7分
（2）f（x）＝3－
2－2＋c，Î
，由（1）当＝－时，f（x）＝
＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c
解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）证明：∵
底面
，
底面，∴
又∵
且
平面
， 
平面， 
，
∴
平面；
4分
（Ⅱ）解：∵点
分别是
的中点，
∴
，由（Ⅰ）知平面，∴
平面，
∴
，
，
∴
为二面角
的平面角，7分
∵底面，
∴
与底面所成的角即为
，
∴＝
，
∵
为直角三角形斜边的中点，
∴
为等腰三角形，且
，
∴
，∴二面角的大小为
；9分
（Ⅲ）法１：过点
作
交
于点
，则
或其补角即为异面直
线
所成的角，11分
∵为
的中点,∴为为的中点, 设
，则由
得
，又
，∴
∴
＝
，∴
，
∴由（Ⅱ）知
为直角三角形，且 
，
，∴
，
在直角三角形
中，
，
∴
，
∴在三角形
中，
，13分
∴
为直角三角形，为直角，
∴异面直线所成的角为
．14分
或者用三垂线定理，首先证明DB与BC垂直也可以
因为 ∴＝，又
，
所以
，即DB与BC垂直
法２：以点
为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设
，则
，
，
，则
则
，
，
，
，∴异面直线所成的角为……………．
14分
19．解：1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；……….4分
（2）＝
在（1，＋∞）上是单调递减函数，
任取
、
∈（1，＋∞），且设＜，则：
－
＝
＞0，
∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；……………9分
（3）当直线
＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜…………..14分
20．解
（1）当
时， 
设为其不动点，即
则
的不动点是－1，2………..
4分
（2）由
得：
. 由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即
对任意
恒成立.
…………………. …………10分
（3）设
，
直线
是线段AB的垂直平分线， ∴ 
记AB的中点
由（2）知
化简得：
时，等号成立）.
……………………………………………………………14分