2006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题
数 学(文史类)
本试卷分第工卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4
页。共150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)
注意事项：
l.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分。共50分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．
1．若命题p的逆命题是q，而命题q是命题r的否命题，则p是r的
A．逆命题 B．逆否命题
C．否命题 D．命题的否定
2．已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ
A．-2，1 B．1，
3．设函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，若y=f′(x)的图象如图1所示，则y=f(x)的图象可
能为
 |
4．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目加入原节目单中，那么不同的加人方法的种数为
A．504 B．210 C．336 D．120
5．等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}的前9项之和S9等于
A．66 B．99 C．144 D．297
6．在(
) 5的展开式中
的系数等于
A．10 B．-10 C．20 D．-20
7．实数x，y满足不等式组
则u=
的取值范围是
A．[一1，0] B．(一∞，0] C．[一1，+∞) D．[一1，1)
8．已知直线l与抛物线y2=8x交于B (x1，y1)、C (x2，y2)两点，且y1 y2=16，则直线l必过抛物线对称轴上的一定点A，A的坐标为
A．(一2，0) B．(-4，0) C．(-8，0) D．(-16，0)
9．如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是
A.
B.
C.
D.
10．已知偶函数f(x)满足f(x+4)=f(-x)，且方程f(x)=0在区间[0，2]上有且只有l这一个实数根，则f(x)=O在区间[-2，18]上所有实数根的总和为
A．40 B．41 C．80 D．81
第Ⅱ卷(非选择题共l00分)
注意事项：
第Ⅱ卷用O．5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．已知关于x的不等式
的解集是(1，a]U(2，+∞)，则a的取值范围是
_____________.
12．函数y=asinx+bcosx(x∈R)的最大值为
，则a+b的最小值是________．
13．已知“△OAB中，若OA⊥OB，顶点O在斜边AB上的射影为H，则OA2=AB?AH”，那么，类比可得“三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两互相垂直，顶点O在面ABC上的射影为H，记△OAB、△ABC、△ABH的面积分别为S△OAB、S△ABC、S△ABH，则________”．
14．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是
，且是相互独立的，则灯泡亮的概率为__________．
15．已知对于任意实数x、y，定义运算：x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法与乘法运算．现已知1*2 =3，2*3=4，且有一个非零实数m，使得对于任意实数x都有x*m=x，则实数m的值为_________________
三、解答题：本大题共6小题．共75分。解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知a=(cosa，0)，b=(cosβ，0)，c=(
sin
)，a与b不垂直，|c|=
，求tanα?tanβ的值．
17．(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是
，甲、丙两人都做错的概率是
，乙、丙两人都做对的概率是
．
(I)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率。
18．(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的公差d≠0，对任意n∈N*，都有an≠0．
( I )求证：对任意n∈N*，所有方程anx2+2an+1x+an+2=0均有一个相同的实数根；
(Ⅱ)若a1=d，方程anx2+2an+1x+an+2=0的另一不同根为cn，bn=
，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设Sn=
，求证：Sn<4．
19．(本小题满分12分)
在直三棱柱ABC―A181C1中，AAl=AB=AC=4，∠BAC=90°，D为侧面ABB1A1的中心，E为BC的中点．
( I )求证：平面DBlE⊥平面BCClBl；
(Ⅱ)求异面直线A1B与B1E所成的角；
(III)求点C1到平面DB1E的距离．
20．(本小题满分13分)
在边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，其中0<x≤t，t为正常数，且0<t<a．
(I)把铁盒的容积V表示为x的函数；
(II)求容积V的最大值．
21．(本小题满分14分)
已知常数a>0，向量m=(0，a)，n=(1，0)，经过定点A(0，-a)且以m+λn为方向向量的直
线与经过定点B(0，a)且以n+2λm为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．记点P的轨迹为曲线C．
( I )求曲线C的方程；
(Ⅱ)若a=
，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求
的取值范围．
2006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1.B.点拔：记命题p的形式为“若A，则B”，则q的形式为“若B，则A”，r的形式为“若
B，则A”，因此，p是r的逆否命题.
2.D点拔：∵λ1a+λ2b=λ1(1，2)+λ2(2，3) = (λ1+2λ2+3λ2) = c = (3，4),
∴
3.C点拔：当f′(x)<0时，f(x)递减；当f′(x)>0时，f(x)递增.
4.A点拔：采用插空法，得7×8×9=504.
5.B点拔：∵a3+a6+a9=(a1+a4+a7)+6d, ∴27=39+6d, ∴d=-2.
∵a1+a4+a7=39, ∴3a1+9d=39,得a1=19.
故S9=9a1+
6.D点拔：展开式的通项公式Tr+1=C
令5-2r=-1,得r=3,∴T4=C53?2-2?(-2)3?x-1=-20?
的系数为-20.
7.D点拔：设M(x,y),N(0，1)，直线MN的倾斜角为α，则可得α∈[0,
]∪[
],所以u=
[-1，1].
8.A点拔：设直线l的方程为x = ty+b代入y2 = 8x中，得y2-8ty-8 = 0, ∴y1y2 = -8b.
又∵y1y2=16, ∴-8b=16,b=-2, 直线l的方程为x=ty-2, 过定点A (-2，0)
9.B点拔：∵AC∥EF，EF⊥DE，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD.∵三棱锥A-BCD为正三棱锥，∴AB、AC、AD两两垂直.
VA-BCD=
=
10.C点拔：∵f(x+4)=f(-x)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)=0在区间[-2，18]上的实数根依次为-1，1，3，5，7，…，17，其总和为-1+1+3+5+…+17=-1+
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.(1，2)点拔：采用根轴法求解.
12.-
点拔：y=
,∴ymax=
,又∵ymax=
.令
则a+b=
13.S
?S△ABH 点拔：易证H为△ABC的垂心.
如图，S?S△ABH.
14.
点拔：P=1-
15.4点拔：∵1*2=3，且2*3=4，
∴
∴x*y=-(6c+1)x+2(c+1)y+cxy.
由x*m=x恒成立得 -(6c+1)x+2(c+1)m+cmx=x恒成立
即(6c-cm+2)x=2(c+1)m恒成立 ∴
∵m≠0,∴由②得c=-1，代入①，得m=4.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.∵|c|=
,∴3sin2
, ………………(2分)
即
,
即3cos(α+β)=cos(α-β), ………………(6分)
即3cosαcosβ-3sinαcosβ=cosαcosβ+sinαsinβ,
即2cosαcosβ=3sinαcosβ
∵a与b不垂直，∴a?b≠0,即cosαcosβ≠0
∴由2sinαsinβ=cosαcosβ得tanαtanβ=
………………(12分)
17.(Ⅰ)记甲、乙、丙三人独立做对这题的事件分别为A、B、C，
则P(A)=
得P(C)=
…………………………………………………………………………(3分)
由P(B?C)=P(B)?P(C)=
得P(B)=
故乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 ………………………(6分)
(Ⅱ)甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为
P(
)
=P(
)+P(A
)+P
=P(
)
=
………………………(12分)
18.(Ⅰ)∵an+an+2=2an+1,∴an-2an+1+an+2=0,即x=-1是方程anx2+2an+1x+an+2=0的相同实数根. ………………………(4分)
(Ⅱ)∵an=a1+(n-1)d=nd,∴方程即为nx2+2(n+1)x+(n+2)=0,
即(nx+n+2)?(x+1)=0,∴cn=-
. ……………………(8分)
(Ⅲ)∵bnbn+1=
∴Sn=4
……(12分)
19．(I)连结AE∵AB=AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC
∵BBl⊥平面ABC，∴AE⊥BBl，∴AE⊥平面BCClBl，
∴平面DBlE⊥平面BCClBl． ………………………………………………(4分)
(Ⅱ)延长AB至F，使AB=BF，连结B1F、EF．
在△EBF中，EF2=BF2+BE2-2BE?BF?cosl35° =16+8―2×4×2×(-
)=40．
B1E2=BBl2+BE2=16+8=24，B1F2=A1B2=32．
在AEBlF中，cos∠EBlF=
∴∠EBl F=arccos
∵B1F∥A1B，∴∠EB1F即为异面直线A1B与B1 E所成的角．
故异面直线A1B与B1E所成的角的大小为arccos
……………………(8分)
(Ⅲ)作C1 H⊥B1E于H．∵平面DBlE平面BCClBl，∴C1 H⊥平面DBlE，
∴C1H的长即为点C1到平面DB1E的距离．
∵△B1 HCl∽△B1
BE，∴
∴C1H=
故点C1到平面DB1E的距离为导
.………………………………………(12分)
20．(I)铁盒子的底面边长为2a-2x，高为x，容积V=(2a-2x)2?x=4x(a-x)2． …(4分)
(11)∵V=4x3-8ax2+4a2x，∴V′=12x2-16ax+4a2．
令V′=O，得x=
，或x=a． …………………………………………………(8分)
①当0<t<时，V(x)在(0，t]上是单调增函数，
∴此时V (x)max=V(t)=4t(a-t)2； …………………………………………(11分)
②当
≤t<a时，V(x)max=V()=
a3． …………………………………(13分)
21．(I)m+λn=(0，a)+λ(1，0)=(λ，a)=2(1，
)(λ≠0)，
n+2λm=(1，0)+2λ(0，a)=(1，2λa)．
∴两直线的方程分别为y+a=x和y-a=2λax，
两式相乘，得y2-2a2x2=a2 …………………………………………………(6分)
当λ=0时，两直线的方程分别为x=0和y=a，交点为P(0，a)，
符合方程y2-2a2x2=a2．
综上，得曲线C的方程为y2-2a2x2=a2 ……………………………………(7分)
(Ⅱ)∵a=，∴点P的轨迹方程为y2-x2=
曲线C为双曲线，E(0，1)为双曲线的一个焦点．
①若直线l的斜率不存在，则其方程为x=0，l与双曲线交于M
此时
.
……………………………………………………………(8分)
②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代人y2-x2=
得2(k2-1)x2+4kx+1=0
∵直线l与双曲线交于两点， ∴△=(4k)2-8(k2-1)>0，且k2-1≠0，解得k≠±1．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
=(x1，y1-1)?(x2，y2-1)=(xl，kx1)?(x2，kx2)
=x1x2+k2x1x2=(k2+1)xlx2=
.
……………………(11分)
记=t,则t=得k2=
.
∵k≠±1,k2≥0，且k2≠1,∴≥0，且≠1，
得t>，或t≤-，即∈(-∞，-)U(，+∞)．
综上，得的取值范围是(-∞，)U[，+∞]．………………(14分)