福建师大附中2006年高考热身模拟考试
数学(理)试卷
2006.5
（满分：150分，时间120分钟）
说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。
YCY
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知复数是纯虚数，则的值为 （ ）
A．1 B．－1 C．－ D．i
2．的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．若函数，则 （ ）
A．4 B．－4 C．1 D．－1
4．在等差数列中，，则的值是 （ ）
A．24 B．48 C．96 D．无法确定
5．已知直线与圆相切，则直线l的倾斜角为 （ ）
A． B． C． D．
那么可写成（ ）
A． B．
C． D．
7．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男
生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有（ ）
A．56种 B．49种 C．42种 D．14种
8．已知△ABC的三个顶点在同一球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2. 若球心O到平面ABC
的距离为1，英才苑则该球的半径为 （ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题
①若； ②
③； ④
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知F1、F2是双曲线的两个焦点，P是该曲线上的一点，PF1垂直于x轴，则|PF2|的值为 （ ）
A． B． C． D．
11．一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长，第三年比第二年增长，且，如果年平均增长m%，则有 （ ）
A．m=p B．m≤p C．m≥p D．m<p
12．设恒成立，则实数m的取值范围是 （ ）
A．（0，1） B．（－∞，0） C．（－∞，） D．（－∞，1）
二、填空题：（本大题4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上）
14．已知的展开式中，所有项的系数之和等于81，那么这个展开式中的系数是
.
15．已知x、y满足约束条件，则的最小值为 .
16．设函数若，则关于x的方程的解的个数为 .
三、解答题：（本大题共六个小题，满分74分）
17．（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=
（1）求的值；
（2）若，求∠C和△ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验；已知该种实验每次实验成功的概率为.
（1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；
（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，英才苑求该小组所做实验的次数ξ的概率分布列和期望.
如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于
矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点，
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P―AM―D的大小；
（3）求点D到平面AMP的距离.
20．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的单调区间；
（2）当a=1时，求在[1，3]上的最大值和最小值.
21．（本小题满分12分）
已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 .
（1）求、的通项公式；
（2）；
（3）若，试证数列为等比数列；并求
的通项公式.
22．（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，一条经过点（3，）且方向向量为的直线l交椭圆C于、两点，交于轴于Q点，又
（1）求直线l方程和的值；
（2）若椭圆C的离心率为，求椭圆C的方程；
（3）求椭圆C长轴长取值范围.
一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D
二、13． 14．32 15．162 16．3
三、17．解：（1）
（2）
，
18．解：（1）设5次实验中只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，
则P（5次实验至少2次成功）=1－P（A）－P（B）=1－
（法2：所求概率为）
（2）ξ的可能取值为2、3、4、5
又
19．解法1：（1）取CD的中点E，连结PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形 ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3 ∴EM2+AM2=AE2
∴∠AME=90° ∴AM⊥PM
（2）由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM ∴∠PME是二面角P―AM―D的平面角
∴tan∠PME= ∴∠PMA=45° ∴二面角P―AM―D为45°
（3）设D点到平面PAM的距离为d，连结DM，则
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=，，
解法2：（1）以D点为原点，
分别以直线DA、DC
为x轴、y轴，建立
如图所示的空间直角
坐标系D―xyz，
依题意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），
M（，2，0），
即，∴AM⊥PM.
（2）设平面PAM，则
取y=1，得 显然平面ABCD
.
结合图形可知，二面角P―AM―D为45°；
（3）设点D到平面PAM的距离为d，由（2）可知）与平面PAM垂直，
则
即点D到平面PAM的距离为
20．解：（1）
①当时 由
解得：定义域为（0，+∞）
∴函数的单调递增区间为（
由可知的单调递增区间为
②当时 同理可得：函数的单调递增区间为
函数的单调递减区间为
（2）当时，
令
当上单调递增
当上单调递减
又在[1，3]上连续 为函数的极大值.
又
是函数在[1，3]上的最小值，
为在[1，3]的最大值.
21．解：（1）在直线
∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1） ，
又数列的公差为1
（2）
（3）
是以2为公比，4为首项的等比数列，
22．解：（1）直线l过点（3，）且方向向量为）
∴l方程为 化简为：
∵直线和椭圆交于两点和x轴交于M（1，0）
又
即
（2） ∴椭圆C方程为
由
∴椭圆C方程为：
（3）将中得 ①
由韦达定理知：
由②2/③知：………④
对方程①求判别式，且由 即
化简为：………………⑤
由④式代入⑤式可知：，求得，
又椭圆的焦点在x轴上，则，
由④知：，结合，求得
因此所求椭圆长轴长2a范围为（2，）.