海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科） 2009.05
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合
，集合
，则
等于
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某行业主管部门所属的企业有800家，按企业固定资产规模分为大型企业?中型企业?小型企业. 大?中?小型企业分别有80家，320家和400家，该行业主管部门要对所属企业的第一季度生产状况进行分层抽样调查，共抽查100家企业. 其中大型企业中应抽查 （ ）
（A）
家
（B）
家
（C）
家 （D）
家
（3）若
，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在
中，
所对的边长分别为
，如果
，那么一定是（ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形
（5）若直线
与直线
关于点
对称，则直线恒过定点
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为 （ ）
（A）360 （B）520 （C）600 （D）720
（7）在棱长均为2的正四棱锥
中，点
为
的中点，则下列命题正确的是
（ ）
（A）
∥平面
，且到平面的距离为
（B）∥平面，且到平面的距离为
（C）与平面不平行，且与平面所成的角大于
（D）与平面不平行，且与平面所成的角小于
（8）已知点
是矩形
所在平面内任意一点，则下列结论中正确的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
（9）已知等比数列
中，
，
，那么
的值为
.
（10）已知函数
是连续函数，则实数
的值是
.
（11）已知
，则
的值等于______ _ .
（12）已知函数
的导函数
的部分图象如图所示，且导函数
有最小值
，则
，
.
（13）以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为 .
（14）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间
中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线
与x轴交于点
，则m的象就是n，记作
.
（?）方程
的解是
；
（?）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）
①
； ②
是奇函数； ③在定义域上单调递增； ④的图象关于点
对称．
（15）（本小题共13分）
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
已知数列
的前
项和为
，
, 
（
，
）.
且
，
，
成等差数列.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式.
（16）（本小题共13分）
检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级. 每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格.
设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为
.
（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为
，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求的分布列及期望.
（17）（本小题共14分）
如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，点
在底面
上的射影恰好是
的中点，且
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
（18）（本小题共13分）
已知：函数
（其中常数
）.
（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；
（Ⅱ）若存在实数
，使得不等式
成立，求a的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知抛物线C:
，过定点
，作直线
交抛物线于
（点
在第一象限）.
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长
时，求直线的方程；
（Ⅱ）设点
关于
轴的对称点为，直线
交轴于点
，且
.求证：点B的坐标是
并求点到直线的距离
的取值范围.
（20）（本小题共14分）
已知
定义域为
，满足：
①
；
②对任意实数
，有
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得不等式
对一切实数成立.如果存在，求出常数的值；如果不存在，请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2
（11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
(15)（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）. ………………………………………1分
∵
，
，
成等差数列，
∴
.
………………………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴数列
为首项是
，公差为1的等差数列.
………………………………………8分
∴
.
∴
.
………………………………………10分
当
时，
. ………………………………………12分
当
时，上式也成立. ………………………………………13分
∴
（）.
（16）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为
.………………………………2分
该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为
.
…………………………………4分
设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估计该间教室的空气质量合格的概率为
.
（Ⅱ）由题意可知，
的取值为0，1，2，3，4.
…………………………………7分
.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一：
∴
. …………………………………13分
解法二：
，
∴
.
…………………………………13分
（17）（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：设
的中点为
.
在斜三棱柱
中，点
在底面
上的射影恰好是的中点,
平面ABC. ……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面.
………………………………………5分
解法一：（Ⅱ）连接
，平面，
是直线
在平面上的射影.
………………………………………5分
，
四边形是菱形.
.
………………………………………7分
.
………………………………………9分
（Ⅲ）过点
作
交于点
，连接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
设
，则
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
………………………………………13分
.
∴二面角的大小为
.
………………………………………14分
解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为
，则
平面ABC.以为原点，过平行于
的直线为
轴，所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，由题意可知，
.
设
，由
，得
………………………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）设平面
的法向量为
.
则
∴
.
设平面
的法向量为
.则
∴
.
………………………………………12分
.
………………………………………13分
二面角的大小为.
………………………………………14分
（18）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）函数
的定义域为
．
………………………………………1分
. ………………………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知，
，且
在
上的最小值小于等于时，存在实数
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
时，
x
a+1
-
0
+
ㄋ
极小值
ㄊ
∴在上的最小值为
．
则
，得
．
………………………………………10分
若
即
时，在上单调递减，则在上的最小值为
．
由
得
（舍）．
………………………………………12分
综上所述，．
………………………………………13分
（19）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由抛物线C:
得抛物线的焦点坐标为
，设直线
的方程为：
，
. ………………………………………1分
由
得
.
所以
，
.因为
， …………………………………3分
所以
.
所以
.即
.
所以直线的方程为：
或
.
………………………………………5分
（Ⅱ）设
，
，则
.
由
得
.
因为
，所以
，
. ……………………………………7分
（?）设
，则
.
由题意知：
∥
，
.
即
.
显然
………………………………………9分
（?）由题意知：
为等腰直角三角形，
，即
，即
.
. 
.
.，
.
………………………………………11分
.
即
的取值范围是
.
………………………………………13分
（20）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，即
.
因为
，所以
.
………………………………………1分
取
，得
.因为
，所以
.
取
，得
，所以
.
………………………………………3分
（Ⅱ）在
中取
得
.
所以
.
在中取
，得
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
对任意实数均成立.
所以
.
………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
中，
取
，得
，即
①
取
，得
②
取
，得
，即
③
②+①得
，②+③得
.
.
将代入①得
.
将代入②得
.
.
由（Ⅱ）知，所以
对一切实数成立.
故当
时，对一切实数成立.
存在常数，使得不等式
对一切实数成立，且为满足题设的唯一一组值.
………………………………………14分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.