1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号

二

三

总 分

15

16

17

18

19

20

分数

（9）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于                。

（10）在的展开式中，x³的系数是                  .（用数字作答）

（11）已知函数的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于        .

（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是                       .

（13）在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c=             , B的大小是               .

(14) 已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于____________,最大值等于______________.

 (15)（本小题共12分）已知函数f(x)= 
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.

（16）（本小题共13分）

       已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

（17）（本小题共14分）

     如图，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁;

（Ⅱ）]若二面角C₁―BD―C的大小为60^o,求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

（18）（本小题共13分）

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：

(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

（19）（本小题共14分）

椭圆C:的两个焦点为F₁,F₂,点P在椭圆C上，且

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

（20）（本小题共14分）

设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n.

(Ⅰ)若a₁₁=0,S₁₄=98,求数列｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列｛a_n｝的通项公式.

答案:

一、（1）―（8）ABCA  DBCC

二、（9）4     （10）84    （11）2    （12）    （13）5：7：8 

（14） 

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2006年普通高等学校招生全国统一考试

数   学（文史类）（北京卷）（编辑：宁冈中学张建华）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

（1）设集合A=，B=，则AB等于（A）

(A)            (B)     (C)｛x|x>－3｝  (D) ｛x|x<1｝

解：集合A=＝｛x|x<1｝，借助数轴易得选A

(2)函数y=1+cosx的图象（ B  ）

   （A）关于x轴对称            （B）关于y轴对称

   （C）关于原点对称            （D）关于直线x=对称

解：函数y=1+cos是偶函数，故选B

（3）若a与b-c都是非零向量，则“a?b=a?c”是“a(b-c)”的（ C  ）

   （A）充分而不必要条件        （B）必要而不充分条件

   （C）充分必要条件            (D) 既不充分也不必要条件

解：ÛÛÛ

故选C

（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ A  ）

（A）36个   （B）24个    （C）18个         （D）6个

解：依题意，所选的三位数字只有一种情况：即一偶两奇，有＝36，故选A

（5）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（ D   ）

（A）(1，+)       （B）(-,3)     (C)           (D)(1,3)

解：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，（3－a）x－4a<3－5a，当x³1时，log_ax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故选D

 (6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（B   ）

（A）b=3,ac=9       (B)b=-3,ac=9   (C)b=3,ac=-9     (D)b=-3,ac=-9

解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B

(7)设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ C  ）

（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面

（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

 (C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

 (D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC

解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；

C不正确，如图所示：

D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选C

 (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x_{1`</sub>x<sub>2`}x₃，分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ C  ）

   （A）x₁＞x₂＞x₃       （B）x₁＞x₃＞x₂

   （C）x₂＞x₃＞x₁              （D）x₃＞x₂＞x₁

解：解：依题意，有x₁＝50＋x₃－55＝x₃－5，\x₁<x₃，

同理，x₂＝30＋x₁－20＝x₁＋10\x₁<x₂，同理，

x₃＝30＋x₂－35＝x₂－5\x₃<x₂故选C

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2006年普通高等学校招生全国统一考试

数   学（文史类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

       1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号

二

三

总 分

15

16

17

18

19

20

分数

（9）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于  4     。

解：＝（a－2，－2），＝（－2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a－2）－4＝0，得a＝4

（10）在的展开式中，x³的系数是84     .（用数字作答）

解：，令7－2r＝3，解得r＝2，故所求的系数为＝84

（11）已知函数的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于 2  .

解：依题意，当x＝2时，y＝1，代入中，得a＝2

（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是            .

解：a+b＝（cos＋cos，sin＋sin），a-b＝（cos－cos，sin－sin），设

a+b与a-b的夹角为q，则cosq＝0，故q＝

（13）在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c=  5∶7∶8           , B的大小是  60°             .

解：由正弦定理得 Ûa:b:c＝5:7:8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小为.

(14) 已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于,最大值等于.

解：画出可行域，如图所示：

易得A（2，2），OA＝

B（1，3），OB＝

C（1，1），OC＝

故|OP|的最大值为，

最小值为.

故f(α)= =  = =.

(16)(共13分)

解法一：

(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0.
在(2,+∝)上 (x)＞0.

故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x₀=1.
(Ⅱ) (x)=3ax²+2bx+c,
由(1)=0, (2)=0,   f(1)=5,
得    解得a=2,b=－9,c=12.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m,
又(x)=3ax²+2bx+c,    所以a=,b=

f(x)=    由f(l)=5,   即  得m=6.
所以a=2,b=－9,c=12.

（17）（共14分）

  解法一：

（Ⅰ）∵ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC₁

∵ABCD是正方形   ∴BD⊥AC   又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁,

且AC∩CC₁=C,   ∴BD⊥平面ACC₁A₁.

 (Ⅱ) 设BD与AC相交于O,连接C₁O.  ∵CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,

  ∴BD⊥C₁O,  ∴∠C₁OC∠是二面角C₁―BD―C的平面角，

∴∠C₁OC=60^o.  连接A1B.   ∵A₁C₁//AC,    ∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角.

设BC=a,则∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为

解法二：

 （Ⅰ）建立空间直角坐标系D―xyz，如图.

设AD=a,DD₁=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C₁(0,a,b),

(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C₁O,则点O坐标为

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为

（18）（共13分）

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，

则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.

(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

  p₁=P(A?B?)+P(?B?C)+P(A??C)+P(A?B?C)

    =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27

=0.75.

(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

  p₂=P(A?B)+P(B?C)+ P(A?C)

    =×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)

=×1.29

=0.43

(19)(共14分)

解法一：

(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,

  所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.

   已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   从而可设直线l的方程为

   y=k(x+2)+1,

   代入椭圆C的方程得

  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

   因为A，B关于点M对称.

   所以

   解得，

   所以直线l的方程为

   即8x-9y+25=0.

   (经检验，所求直线方程符合题意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

                                                                    ①

                                                                    ②

由①－②得

                      ③

因为A、B关于点M对称，

所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），

即8x－9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意.)

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由S₁₄=98得2a₁+13d=14,

又a₁₁=a₁+10d=0,

故解得d=－2,a₁=20.

因此，{a_n}的通项公式是a_n=22－2n,n=1,2,3…

（Ⅱ）由得            即

由①+②得－7d＜11。

即d＞－。

由①+③得13d≤－1

即d≤－

于是－＜d≤－

又d∈Z,故

d=－1

将④代入①②得10＜a₁≤12.

又a₁∈Z,故a₁=11或a₁=12.

所以，所有可能的数列{a_n}的通项公式是

a_n=12-n和a_n=13-n,n=1,2,3,…