2006高考数学试题陕西卷
理科试题（必修＋选修II）
注意事项：
１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}, 则P∩Q等于( )
A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2.复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
3. n→∞lim等于( )
A. 1 B. C. D.0
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.6
B
5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
6."等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B
9.已知非零向量与满足(+)?=0且?= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1－a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )
A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,
A.4,6,1,7 B.7,6,1,
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14.(3x－)12展开式x－3的系数为 (用数字作答)
15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
18. (本小题满分12分)
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
19. (本小题满分12分)
如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.
20. (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
21. (本小题满分12分)
如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
22.（本小题满分１4分）
已知函数f(x)=x3－x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0.
（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn),
其中 n=1,2,……
（II）证明：xn<xn+1<x0<yn+1<yn;
（III）证明： < .
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
B
A
D
B
D
A
D
C
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x2+x－6≤0} =
， 所以P∩Q等于{1，2} ，选B．
2．复数=
，选C．
3．
n→∞lim=
=
，选B．
4．函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则
，∴
，
或
(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
5．设直线过点(0，a)，其斜率为1，
且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为
，圆心(0，0)道直线的距离等于半径
，∴ 
，∴ a 的值±2，选B．
6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．
7．已知双曲线
(a>)的两条渐近线的夹角为，则
，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
8．已知不等式(x+y)(
)≥9对任意正实数x，y恒成立，则
≥
≥9，∴ 
≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．
9．已知非零向量与满足(
)?=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
= ，∠A=
，所以△ABC为等边三角形，选D．
10．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为
，0<a<3，∴ x1+x2=1－a∈(－2，1)，x1与x2的中点在(－1，
)之间，x1<x2，∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴ f(x1)<f(x2)
，选A．
11．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE//BC，DE在α内，所以选D．
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，
则
，解得
，解密得到的明文为C．
二、填空题
13．－ 14．594 15．3R 16．600
13．cos43°cos77°+sin43°cos167°=
=－．
14．(3x－)12展开式中，x－3项为
=594
，的系数是594．
15．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．
16．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①
甲、丙同去，则乙不去，有
=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有
=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有
种选法，共有600种不同的选派方案．
三、解答题
17．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}．
18．解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 ， "乙投篮1次投进"为事件A2 ， "丙投篮1次投进"为事件A3， "3人都没有投进"为事件A ． 则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，
∴ P(A) = P()=P()?P()?P()
= [1－P(A1)] ?[1－P (A2)] ?[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
∴3人都没有投进的概率为 ．
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )，
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．
解法二: ξ的概率分布为:
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×= ．
19．解法一: (Ⅰ)如图， 连接A1B，AB1， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA1⊥l， BB1⊥l，
∴AA1⊥β， BB1⊥α． 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB
Rt△AA1B中， AA1=1，AB=2， sin∠ABA1= = ， ∴∠ABA1= 30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．
(Ⅱ) ∵BB1⊥α， ∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=． ∴Rt△AA1B中，A1B== = ． 由AA1?A1B=A
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin．
解法二: (Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) 如图，建立坐标系， 则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴点F的坐标为(t， t，1－t)．要使⊥，须?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴点F的坐标为(，－， )， ∴=(，， )． 设E为AB1的中点，则点E的坐标为(0，， )． ∴=(，－，)．
又?=(，－，)?(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A1FE为所求二面角的平面角．
又cos∠A1FE= = = = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos．
20．解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有
a32=a
21．解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由=t， = t ， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)． ∴ 同理 ． ∴kDE = = = 1－2t．
∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)． ∴ ， ∴y= ， 即x2=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．
即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t，
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t，
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
22．解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．
（II）∵0<x0< ， 即x1<x0<y1．又f(x)是增函数， ∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2．
又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1， y2=f(y1)=f()=<=y1，综上， x1<x2<x0<y2<y1．
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时，上面已证明成立．
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk ．
当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk)，∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1
由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn．
（III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+
=[(yn+xn)－]2+ ． 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1．∴－ < yn+xn－ < ， ∴ < ()2+ =