一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

B

C

B

A

D

B

D

A

D

C

1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x²+x－6≤0} =， 所以P∩Q等于{1，2} ，选B．

2．复数=，选C．

3． n→∞lim=

     =，选B．

4．函数f(x)=log_a(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，

则，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．

5．设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x²+y²=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．

6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)^k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．

7．已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a²=6，双曲线的离心率为 ，选D．

8．已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．

9．已知非零向量与满足()?=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

10．已知函数f(x)=ax²+2ax+4(0<a<3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为，0<a<3，∴ x₁+x₂=1－a∈(－2，1)，x₁与x₂的中点在(－1，)之间，x₁<x₂，∴ x₂到对称轴的距离大于x₁到对称轴的距离，∴ f(x₁)<f(x₂) ，选A．

11．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE//BC，DE在α内，所以选D．

12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，

则，解得，解密得到的明文为C．

二、填空题

13．－   14．594   15．3R     16．600

13．cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．

14．(3x－)¹²展开式中，x^－3项为=594，的系数是594．

15．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．

16．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有种选法，共有600种不同的选派方案．

三、解答题

17．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

          = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

         =2sin[2(x－)－]+1

         = 2sin(2x－) +1 

∴ T==π

  (Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有  2x－ =2kπ+

即x=kπ+    (k∈Z)  ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ，  (k∈Z)}．

18．解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A₁ ， "乙投篮1次投进"为事件A₂ ， "丙投篮1次投进"为事件A₃， "3人都没有投进"为事件A ． 则 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A) = P()=P()?P()?P()

 = [1－P(A₁)] ?[1－P (A₂)] ?[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都没有投进的概率为 ．

(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k  (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．

解法二: ξ的概率分布为: 

ξ

0

1

2

3

P

Eξ=0×+1×+2×+3×=   ．

19．解法一: (Ⅰ)如图， 连接A₁B，AB₁， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA₁⊥l， BB₁⊥l，

∴AA₁⊥β， BB₁⊥α． 则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角．

Rt△BB₁A中， BB₁= ， AB=2， ∴sin∠BAB₁ = = ． ∴∠BAB₁=45°．

Rt△AA₁B中， AA₁=1，AB=2， sin∠ABA₁= = ， ∴∠ABA₁= 30°．

故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．

(Ⅱ) ∵BB₁⊥α， ∴平面ABB₁⊥α．在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB， ∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=． ∴Rt△AA₁B中，A₁B== = ． 由AA₁?A₁B=A₁F?AB得 A₁F== = ，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE = = ， ∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arcsin．

解法二: (Ⅰ)同解法一．

(Ⅱ) 如图，建立坐标系， 则A₁(0，0，0)，A(0，0，1)，B₁(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴点F的坐标为(t， t，1－t)．要使⊥，须?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴点F的坐标为(，－， )， ∴=(，， )． 设E为AB₁的中点，则点E的坐标为(0，， )． ∴=(，－，)．

又?=(，－，)?(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A₁FE为所求二面角的平面角．

又cos∠A₁FE= = = = = ，

∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos．

20．解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

21．解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x₀，y₀)，E(x_E，y_E)，M(x，y)．由=t，  = t ， 知(x_D－2，y_D－1)=t(－2，－2)．   ∴  同理 ． ∴k_DE =  = = 1－2t．

∴t∈[0，1] ， ∴k_DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t²－2t)． ∴     ， ∴y= ， 即x²=4y．  ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．

即所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

解法二: (Ⅰ)同上．

(Ⅱ) 如图， =+ = +  t = + t(－) = (1－t) +t，

 = + = +t = +t(－) =(1－t) +t，

 = += + t= +t(－)=(1－t) + t

     = (1－t²)  + 2(1－t)t+t² ．

设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得

  消去t得x²=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．

故所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

22．解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．

（II）∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函数， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，综上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用数学归纳法证明如下:

(1)当n=1时，上面已证明成立．

(2)假设当n=k(k≥1)时有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

  =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =