北京市2009届高三第二次模拟考试
数学理科
（试卷总分150分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．设
，则
（ ）
A． 
B． 
C．
D．
3．已知集合
，集合
，则
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．已知向量
，
，则
与
共线是
与
共线的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件D． 既不充分也不必要条件
5．已知正项等差数列
的前6项和为9，
成等比数列，则数列的公差为（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．若双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则此双曲线的离心率是( )
A. B.
C. 
D.
7.设
、
为正实数，则下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．设
是
展开式的中间项，若
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．函数
的最小值是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半径为
的球
，若截面圆的内接正三角形
的边长亦为，则三棱锥
的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
11.设
是函数
的反函数，则
与
的大小关系为（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直线
，
将圆面
分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在指定位置上）
13．若实数
满足
，则
的最大值为
。
14已知数列的前
项和
比集合
的子集个数少１，则
。
15.如图，正四面体
中，
是底面上的高，
为
的中点，则与
所成角的余弦值为
。
16,已知点
为
的准线与
轴的交点,点
为焦点，点
为抛物线上两个点，若
，则向量
与
的夹角为
。
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.(本小题满分10分)
已知
的内角
的对边分别为
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面积。
18. (本小题满分12分)
高中会考成绩分A，B，C，D四个等级，其中等级D为会考不合格，某学校高三学生甲参加语文、数学、英语三科会考，三科会考合格的概率均为
，每科得A，B，C，D 四个等级的概率分别为
，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生甲不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）若至少有两科得A，一科得B，就能被评为三好学生，则学生甲被评为三好学生的概率；
（Ⅳ）设
为学生甲会考不合格科目数，求的分布列及的数学期望
。
19．（本小题满分12分）
已知函数
（为常数）．
（Ⅰ）当
时，求的极值；
（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围.
20．(本小题满分12分)
已知四棱锥
的底面
为直角梯形，
底面，
∥
，
，
，点
、
分别在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大小；
（Ⅲ）求与平面所成角正切值的大小。
21．(本小题满分12分)
已知双曲线：的离心率为
，过右焦点做渐近线
：
的平行线
交双曲线与点，若
，
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线
与双曲线
恒有两个不同的交点
和
，且
其中为原点，求
的范围。
22．(本小题满分12分)
为数列的前项和且满足
，若
，
则
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设
，求证：
。
1．解析：
，故选A。
2．解析：∵
，
故选B。
3．解析：由
，得
，此时
，所以，
，故选C。
4．解析：显然，若
与
共线，则
与
共线；若与共线，则
，即
，得
，∴与共线，∴与共线是与共线的充要条件，故选C。
5．解析：设公差为
，由题意得，
；
，解得
或
，故选C。
6．解析：∵双曲线
的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴
，∴双曲线的离心率是
。故选B.
7.解析：∵
、
为正实数，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因为函数
在
是增函数，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故选C.
8．解析：∵
，∴
在区间
上恒成立，即
在区间上恒成立，∴
，故选D。
9．解析：∵
，此函数的最小值为
，故选C。
10．解析：如图，∵正三角形
的边长为
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故选D。
11．解析：∵
在区间
上是增函数且
，∴其反函数
在区间上
是增函数，∴
，故选A
12．解析：如图，①当
或
时，圆面
被分成2块，涂色方法有20种；②当
或
时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；
③当
时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是
，故选A。
13．解析：做出
表示的平面区域如图，当直线
经过点
时，
取得最大值5。
14.解析：∵
，∴
时，
，又
时，
满足上式，因此，
，
∴
。
15．解析：设正四面体的棱长为，连
，取的中点
，连
，∵
为
的中点，∴
∥，∴
或其补角为与
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴与所成角的余弦值为
。
16．解析：∵
，∴
，∵点
为
的准线与
轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点
为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中
为点
到准线的距离，四边形
为菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
与
的夹角为
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为
，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为
，∴学生甲被评为三好学生的概率为
。……………………12分
（理）∵
，
，
，
。……………………9分
∴
的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的数学期望
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）
时，
，
，
由
得，
或
………3分
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
，
………………………6分
（Ⅱ）
在定义域
上是增函数，
对
恒成立，即
………………………9分
又
（当且仅当
时，
）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
为二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小为
。………………………8分
（Ⅲ）过点
做
∥，交于点，∵平面，∴
为在平面内的射影，∴
为与平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为
。………………………12分
解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，
，∴点
的坐标分别是
，
，
，∴
，
，设
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）设二面角的大小为
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
21.（Ⅰ） 解析：如图，设右准线
与轴的交点为
，过点分别向轴及右准线引垂线
，∵
，∴
，又∵
∥，∴
，………………………2分
∴
，又∵
，∴
，又∵，解得
，∴
，∴双曲线的方程为
。………………………4分
（Ⅱ）联立方程组 
消
得：
由直线
与双曲线
交于不同的两点得：
即 
于是 
，且
………………①………………………6分
设
、
，则
……………………9分
又
，所以
，解得
……………②
由①和②得
即
或
故
的取值范围为
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，∴
，∴数列
是等差数列，………………………2分
又∵
，
，∴公差为2，
∴
，………………………4分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴数列
是公比为2的等比数列，
∵
，∴
，………………………6分
（Ⅲ）∵
，
∴
………………………8分
∴
………………………10分
∵
，∴
，又∵
，∴
………………………12分