试卷类型：A
2009年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（文科）
2009．4
本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
， 其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
球的表面积公式
，其中
为球的半径．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集
，集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．如果复数
是纯虚数，则实数
的值为
A．0 B．
3．已知函数
则函数
的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．命题“
，
”的否定是
A．，
≥0 B．，
C．
，≥0 D．，
5．在空间直角坐标系中，以点
，
，
为顶点的
是以
为底边的等腰三角形，则实数
的值为
A．
B．2 C．6 D．2或6
6．如图1所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧（左）视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，则这个几何体的正（主）视图是
 |
|||||||
 |
 |
||||||
 |
|||||||
A． B. C. D.
7．曲线
在点
处的切线与轴及直线
所围成的三角形的面积为
A．
B．
C．
D．
8．已知圆
与圆
关于直线
对称，则直线的方程为
A．
B．
C．
D．
9．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为
A．
B． C．
D．
10．在平面内有
≥
条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这条直线把平面分成
个平面区域，则
等于
A．18 B．22 C．24 D．32
（一）必做题（11～13题）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
12．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算 参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 ?? 分．
13．在中，已知
，则
的最大值为 ，此时角
的大小为 ? 
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形
中，
，
，则
的值为
．
15．（坐标系与参数方程选做题） 直线
被圆
（
为参数）所截得的弦长为
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
，设函数
．
（1）求函数的值域；
（2）已知锐角的三个内角分别为
若
，
，求
的值．
17．（本小题满分12分）
已知实数
，
．
（1）求直线
不经过第四象限的概率；
（2）求直线与圆
有公共点的概率．
18．（本小题满分14分）
在长方体
中，
，过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．
（1）证明：直线
平面
；
（2）求棱
的长；
（3）求经过
四点的球的表面积．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆
：
的离心率
，且经过点
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆的左焦点，判断以
为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知等比数列
的前项和为
，若
，
，
成等差数列，试判断
，
，
是否成等差数列，并证明你的结论．
21．（本小题满分14分）
已知函数
，
，其中
．
（1）若是函数
的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的
（
为自然对数的底数）都有
≥
成立，求实数的取值范围．
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
D
C
B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．第13题第1个空3分,第2个空2分.
11．0
12．79
13．
，
14．1
15．6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）
．
∵
R，
∴函数
的值域为
．
（2）∵
，
，
∴
，
．
∵
都是锐角，
∴
，
．
∴
∴
的值为
．
17．（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法，以及简单的推理论证能力）
解：由于实数对
的所有取值为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共16种．
设“直线
不经过第四象限”为事件
，“直线
与圆
有公共点”为事件
．
（1）若直线不经过第四象限，则必须满足
即满足条件的实数对
有，，，，共4种．
∴
．
故直线不经过第四象限的概率为
．
（2）若直线与圆有公共点，则必须满足
≤1，即
≤
．
若
，则
符合要求，此时实数对（
）有4种不同取值；
若
，则
符合要求，此时实数对（）有2种不同取值；
若
，则符合要求，此时实数对（）有2种不同取值；
若
，则符合要求，此时实数对（）有4种不同取值．
∴满足条件的实数对共有12种不同取值．
∴
．
故直线与圆有公共点的概率为
．
18．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力）
（1）证法1：如图，连结
，
∵
是长方体，
∴
且
．
∴四边形
是平行四边形．
∴
．
∵
平面
，
平面，
∴
平面．
证法2：∵是长方体，
∴平面
平面．
∵
平面，平面，
∴平面．
（2）解：设
，∵几何体
的体积为
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的长为4．
（3）如图，连结
，设的中点为
，连
∵是长方体，∴
平面．
∵平面，∴
．
∴
．同理
．
∴
．
∴经过
，
，，
四点的球的球心为点．
∵
．
∴
．
故经过，，，四点的球的表面积为
．
19．（本小题主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，以及运算求解能力）
解：（1）∵椭圆
的离心率为
，且经过点
，
∴
即
解得
∴椭圆
的方程为
．
（2）∵
，
，∴
．
∴椭圆的左焦点坐标为
.
以椭圆的长轴为直径的圆的方程为
，圆心坐标是
，半径为2.
以
为直径的圆的方程为
，圆心坐标是
，半径为
.
∵两圆心之间的距离为
，
故以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
20．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前
项求和公式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：设等比数列
的首项为
，公比为
，
若
，
，
成等差数列，
则
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
当时，∵
，
，
，
∴
．
∴当时，
，
，
不成等差数列．
当时，，
，
成等差数列．下面给出两种证明方法．
证法1：∵
，
∴
．
∴当时，，，成等差数列．
证法2：∵
，
又
，
∴．
∴当时，，，成等差数列．
21．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定义域为
，
∴
．
∵
是函数
的极值点，
∴
，即
，
∵
，∴
．
经检验，当时，
=1是函数
的极值点，
∴． ?
解法2：∵，其定义域为，
∴．
令
，即
，整理得，
．
∵
，
∴的两个实根
（舍去），
，
当变化时，，
的变化情况如下表：
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