1、（理）设满足不等式的解集为A，且，则实数的取值范围是           ．；

（文）不等式的解集是              ．

2、常德市2007-2008学年度上学期高三水平检测考试题

已知是关于的方程的两个实根，那么的最小值为     ，最大值为      . 0，

3、哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2008年高三实验班第一次摸底考试数学试题

若关于x的不等式有解，则实数a的取值范围是________.

4、武汉市2008届高中毕业生二月调研测试理科数学试题

当时，恒成立，则实数的取值范围为            。[]

5. 对任意正数x₁，x₂，若函数f(x)=lgx，试比较A=与B=的大小，答A________B   <

6. 江苏省姜堰中学阶段性考试

  函数在上的最大值为_____________

7. a、b、c、d均为实数，使不等式和都成立的一组值（a，b，c，d）是               ．（只要写出适合条件的一组值即可）

解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如（2，1，－3，2）．

评析：本题为开放题，考察学生对知识灵活处理问题的能力．

8．如果那么的取值范围是_______。

答案：

解析：因

故

易错警示：利用真数大于零得x不等于 ，从而正弦值就不等于.其实x等于时可取得该值。

9. 设M是△ABC内一点，且，∠BAC＝30º，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(M)＝(，x，y)，则的最小值为     18   ．

10. 若实数的取值范围是            。[―1，0]

11. 已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法

  （1）                         

（2）时，有最小值，无最大值

（3）恒成立        

（4）,, 则的取值范围为（-

其中正确的是   （3）（4）   （把你认为所有正确的命题的序号都填上）

12. 在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为          和         .   答案：9，12.

13. 考察下列一组不等式：   将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为

14. 在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是    。

15. 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是   。

16. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；

   反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语

   言描述为：若有限数列 满足，则                   

                                                        （结论用数学式子表示）.

和

17. 在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上           和           。

答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又= ≥，等于当且仅当，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。

18. 已知x>0，由不等式≥2?=2，=≥=3,

…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N^*)，则a=_________ nⁿ ______．

19. 若、满足条件，

（i）的轨迹形成的图形的面积为1，则            ，

（ii）的最大值为               

 (1) 2 ，   (2)           

20. 当x＞2时，使不等式x+ ≥a恒成立的实数a的取值范围是       （-∞，4]

21. 关于x的不等式：2－x²>|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是 （－，2） .

【解析】（数形结合）画出y₁=2－x²，y₂=|x－a|的图象.

由.

由Δ=1+4（a+2）=0a=－.

由图形易得：a<2. ∴a∈（－，2）.

22. 函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__   8      ．

23. 不等式的解集为             ．

24. 数列由下列条件所确定：

   （I）；

   （II）满足如下条件：

那么，当的通项公式为   

25. 已知的最大值为          

   解析：∵，当且仅当

   时取等号.

26.

上海市浦东新区2007学年度第一学期期末质量抽测2008/1

1、已知非零实数、满足，则下列不等式中成立的是…………………………（   ）

（A）；            （B）；         （C）         （D）

2、将一根铁丝切割成三段做一个面积为2、形状为直角三角形的框架，在下列四

种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是……………………（ C ）

（A） 6.5m                   （B）  6.8m             （C）  7m                 （D）7.2m

3、设，若，则实数的取值范围是（   ）

4、湖南省2008届十二校联考第一次考试

若a是 与的等比中项，则的最大值为（ D   ）

    A．        B．        C．                D．

5. 湖南省2008届十二校联考第一次考试

  设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ C   ）

A．                                        B．                    

C．                                     D．

6. 2008年电白四中高三级2月测试卷

   数列三个实数a、b、c成等比数列，若a+b+c=1成立，则b取值范围是

       A．[0，]       B．[－1，]           C．[－，0]           D．（0，]

7. 成都外国语学校高2008级二月月考数学试题

当时不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A.；          B.；                           C. ；                       D.  

8. 已知圆上任一点，其坐标均使得不等式≥0恒成立，则实数的取值范围是 

（A）          （B）           （C）           (D)

9. 为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是

A.　　　　　B.　　　　C.　　　   D.

    由可排除A,D,令可得可知C可能成立。

10. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v₁，v₂,v₃,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为

  A.   B.   C.            D.

 解：设三个连续时段为t₁，t₂，t₃，各时段的增长量相等，设为M，则M= v₁ t₁= v₂ t₂=v₃ t₃，整个时段内的平均增长速度为=，选D

11. 已知非零实数满足，则下列不等式成立的是

A、         B、           C、         D、

解1：当时，淘汰A；当时，淘汰B；

当时，淘汰C；故选D；

解2：∵为非零实数且满足 ∴，即，故选D；

解3：代特殊值进行验证淘汰；

12. 若实数a,b,c满足的最大值为

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

13. 若实数时，不等式恒成立，则的取值范围 

       A．           B．(－2，1)   C．          D．

14. 已知不等式x²－log_mx－<0在x∈(0, )时恒成立，则m的取值范围是（　   ）

　A．0<m<1                      B．≤m<1               C．m>1                       D．0<m<

15. 已知则x,y之间的大小关系是（      ）

A.                  B.                C.                D．不能确定

16. 已知|x-a|<b的解集为{x|2<x<4}, 则实数a等于

   A．1            B. 2              C. 3              D. 4

   选C． 的解集为，于是且，

   得

1、上海市部分重点中学高三第一次联考

 如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米²，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？(14’)

解：设池塘的长为x米时占地总面积为S   （1分）

        故池塘的宽为米    （1分）

            （3分）

        故     （2分）

           （2分）

               （1分）

            （3分）

   答：每个池塘的长为米，宽为米时占地总面积最小。（1分）

2、上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）

经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：

   （1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；

   （2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？（1）  

解v=40时取“=”

千辆，

等式成立；

   （2）

3. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

(I)写出υ关于ω的函数关系式；

    (Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

    (Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．

(注：价值损失的百分率=×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)(本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力)

 解：(Ⅰ)依题意设v=kω²，……………………………………………………(2分)

           又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)

           故v =6000ω²．………………………………………………………(4分)

     (Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，

         由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为

         6000(a)²+6000(a)²．…………………………………………… (6分)

         价值损失为

         6000a²一[6000(a)²+6000(a)²]．…………………………………(7分)

         价值损失的百分率为

         答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)

(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为

，

    　　等号当且仅当m=n时成立.

  　　　即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)

4. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

   （Ⅰ）试解释的实际意义；

   （Ⅱ）设，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。…………………………4分

   （Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当

    成立，双方均无失败的风险……………………8分

由（1）（2）得

……………………14分

答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。

5. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.

   （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

   （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，

所以这时租出了88辆车.

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

，

整理得.

所以，当x=4100时，最大，最大值为，

即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.

6. 上海某玩具厂生产套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的价格为元，其中 ，

   （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？

   （2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求的值．（利润 = 销售收入 ― 成本）

  [解]（1）每套“福娃”所需成本费用为

     _{…………………………3分}

                    _{…………………………4分}

当，  即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元. ……6分

（2）利润为

        =（    _{…………………---9分}

_{由题意，        ……………………12分}

_{解得      a= 25，   b= 30.      ……………………14分}

7. 已知关于x的不等式的解是4<x<36，求a，b。

解： 设，

则原不等式变为：，其解的范围是2< t <6。  ……6分

    由  2+6＝     

        2×6＝     n                                      ……8分

    解得                     

8. 已知抛物线与直线相切于点．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，有

，．

因此，的解析式为；

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以实数的取值范围是．

9. 某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即，0＜x≤10.每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的 z倍.

(1)设y=ax，其中a是满足≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x的值；

(2)若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.

答案：(1)由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+)元、n(1－)元、npz元，因而

，在y=ax的条件下，z=［－a

［x－］²+100+］.由于≤a＜1，则0＜≤10.

要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=.

(2)由z= (10+x)(10－x)＞1，解得0＜x＜5.

10. ．已知关于x的不等式 的解集分别为A和B，且，求实数a的取值范围.

   解：∵∴

  ①…………5分

又∵

∴②……10分

由①②知，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分

11. 为迎接2008年的奥运会，某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

  （1）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

（2）若由于资金的限制，每年的产品成本投入不得超过48万元，促销费不得超过2.2万元，试设计一种方案，使该厂家2008年的利润最大，并求出最大利润。

解：（1）    （4分）

（2）由解得        （7分）

所以第10个月更换刀具.            

（3）第n个月产生的利润是：   

n个月的总利润：

n个月的平均利润：    

由  且

在第7个月更换刀具，可使这7个月的平均利润f(7)最大（13.21万元）此时刀具厚度为y=-0.25n+27.25=25.5（mm）

12. 设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式  对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。

（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。

解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，

   即，又不等式对任意恒成立，∴，即，

            ∴ 。

        （2）一个解集为的不等式可以是  。

   （文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，

又不等式对任意恒成立，∴，即，

             ∴ 。

        （2）一个解集为的不等式可以是  。

13. （理）已知为正常数。

   （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

   （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；

   （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。

   （2）在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即时，

，

又∵，∴。          综上，得 。

  易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。

故猜测：时，单调递减；时，单调递增。

（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。

    如对，，此时，

   即  。

（文）已知函数，，

（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：（Ⅰ）当时，，

若，，则在上单调递减，不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。

（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

又取最小值时，，依题意，有，则，

∵且，∴，得，此时或。

∴满足条件的实数对是。

（Ⅲ）当实数对是时，

依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。

如对，，

此时，，

故。

    已知，，求证，

    证明：构造函数

    因为对一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,

    从而得，

   （1）若，，请写出上述结论的推广式；

   （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解：（1）若，，

求证： (4¢)

（2）证明：构造函数  (6¢)

  (11¢)

              因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,

               从而证得：.  (14¢)

15. ⑴证明：当a＞1时，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

    ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：（1）证：,∵a＞1，∴＞0，

           ∴原不等式成立 (6¢)

   （2）∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽

        为a＞0且a¹1 (9¢)

   （3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)

       证：左式-右式=

       若a＞1，则由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

       若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)

16. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半””之和，则当年生产的化妆品正好能销完。

（1）将2002年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；

（2）该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?

(注：利润＝销售收入―生产成本―促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

解：（1）由题意：  将

当年生产x(万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x＋3＝32（3－）＋3；当销售x（万件）时，年销售收入＝150%［32（3－＋3］＋

由题意，生产x万件化妆品正好销完

∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费

即（t≥0）

（2）∵≤50－＝42万件

当且仅当即t＝7时，y_max＝42

∴当促销费定在7万元时，利润增大.

17. (1)证明下列命题：

已知函数及实数，若，则对于一切实数都有。

(2)利用(1)的结论解决下列各问题：

①若对于，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

②。

解：（1）根据直线的单调性证明（略）；

（2）①将不等式“转化”为关于x的一次函数

只要同时满足即可。解得：

②将证明不等式的问题 “转化”为关于a（或b、c）的一次函数，这就需要“造”一个一次函数如下：

令；

即

由，可得结论。

18. 已知二次函数（）．

（1）当０＜＜时，（）的最大值为，求的最小值；

（2）对于任意的，总有||．试求的取值范围；

（3）若当时，记，令，求证：成立．

解：⑴由知故当时取得最大值为，

即，

所以的最小值为；              

⑵对于任意的，总有||，

令，则命题转化为，

不等式恒成立，

当时，使成立；