湖北省百所重点中学2009 届高三联合考试数学试题考生注意:1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.3．本试卷主要考试内容:集合与简易逻辑.函数——青夏教育精英家教网——

湖北省百所重点中学

2009 届高三联合考试

数学试题（理科）

考生注意：

1．本试卷共150分，考试时间120分钟。

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容：集合与简易逻辑、函数、数列（约占70%），排列、组合、二项式定理、概率、以及选修II的概率与统计、极限、数学归纳法、导数、复数（约占30%）。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设A、B是非空数集，定义：，则的非空真子集个数为（）

A．64 B．32 C．31 D．30

2．已知的值为（）

A．4 B．―4 C．4+4i D．2i

3．已知函数的图象过点（3，4），则a等于（）

A． B． C． D．2

4．若函数的定义域为（）

A．[0，1] B． C． D．[1，2]

5．如果函数那么（）

A． B．

C． D．

6．如果随机变量等于

（其中内的取值概率为0.954；在内的取值概率为0.997）（）

A．0.5 B．0.683 C．0.954 D．0.997

8．函数有

是

（）

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

9．已知函数是以2为周期的偶函数，且当的值为（）

A． B． C． D．

10．函数的图象的交点个数为

（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卷中的横线上。）

11．已知的必要条件，则实数a的取值范围是。

82615205

14．如图，一个类似杨辉三角的递推式，则（1）第n行

的首尾两数均为，（2）第n行的第2个数

为。

15．已知函数给出以下四个命题：

①若；

②若；

③对称；

④

其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求的定义域；

（2）求的值域。

17．（本小题满分12分）

设A是符合以下性质的函数且

上是减函数。

（1）判断函数是否属于集合A，并简要说明理由；

（2）把（1）中你认为是集合A中的一个函数记为对任意的总成立，求实数k的取值范围。

18．（本小题满分12分）

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自德车的费用是每日115元。

根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。

为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

19．（本小题满分13分）

2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称

贝贝

晶晶

欢欢

迎迎

妮妮

数量

1

2

3

1

1

从中随机地选取5只。

（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推。设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值。

20．（本小题满分12分）

设函数

（1）若表达式；

（2）在（1）的条件下，当的取值范围；

（3）设

21．（本小题满分14分）

数列

（1）求证：①；②；

（2）比较的大小，并加以证明。

1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．A 10．C

11． 12． 13．3 14． 15．①②④

16．解：（1）由题意，得 ………………2分

解不等式组，得……4分

（2） ………………6分

………………7分

上是增函数。 ………………10分

又，

………………12分

17．解：（1），

不在集合A中。 ………………3分

又， ………………5分

上是减函数，

在集合A中。 ………………8分

（2）当， ………………11分

又由已知，

因此所求的实数k的取值范围是 ………………12分

18．解：（1）当

………………2分

， ………………5分

故 ………………6分

定义域为 ………………7分

（2）对于，

显然当（元）， ………………9分

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。…………12分

19．解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

………………4分

（2） ………………5分

………………9分

ξ的分布列为

ξ

100

80

60

40

P

………………11分

………………13分

20．解：（1）恒成立，

知

从而 ………………4分

（2）由（1）可知，

由于是单调函数，

知 ………………8分

（3）

上是增函数，

………………12分

21．（1）证明：①因为

当且仅当

因为 ………………3分

②因为，由①得（i）

下面证明：对于任意成立。

根据（i）、（ii）得 ………………9分

（2）解：由

从而

因为

………………11分

当

………………14分