张家港市后塍高级中学2008～2009第二学期高三数学
4月调研测试卷
一、填空题：（5×10=50分）
1．已知集合
若
，则实数
的值为 .
2．若复数
为虚数单位）为纯虚数，则实数
的值为 .
3．一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为 .
4.如图，给出一个算法的伪代码， 则
.
5.已知直线
的充要条件是=
.
6．高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 .
7．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为 .
8．设方程
.
10．
已知函数
的值为
.
10．平面区域
，若向区域
内随机投一点
，则点落入区域
的概率为
.
11.已知抛物线
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线
垂直，则实数=
.
12.已知平面向量
的夹角为
，
.
13.函数
上的最大值为
.
14.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均
为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处
标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点
（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）
标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此
类推，则标签
的格点的坐标为
.
一、
二、解答题：（90分）
15．（本小题满分14分）
在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且
.
(1)求角A；若
，求角C的取值范围。
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
⊥平面，
为的中点，
为
的中点，求证：
（1）平面
⊥平面
；
（2）
//平面
.
17．（本小题满分14分）
已知数列
、
中，对任何正整数
都有：
．
（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
18．（本小题满分16分）
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料
元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂
天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用
（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
19．（本小题满分15分）
已知圆
的方程为
且与圆相切。
（1）求直线
的方程；
（2）设圆与轴交与
两点，
是圆上异于的任意一点，过点且与轴垂直的直线为
，直线
交直线于点
，直线
交直线于点
。
求证：以
为直径的圆
总经过定点，并求出定点坐标。
20．（本小题满分16分）
已知函数
（I）求曲线
处的切线方程；
（Ⅱ）求证函数
在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，
≈1.6，e0.3≈1.3）
（III）当
试求实数的取值范围。
后塍高级中学2008～2009第二学期高三数学4月调研测试
数学附加题
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。
A、（选修4-1.几何证明选讲）
如图，四边形内接于
,
,过点的切线交
的延长线于点。
求证：
 |
B、（选修4-2.矩阵与变换）
求曲线:
在矩阵
对应的变换下得到的曲线
的方程。
C、（选修4-4.坐标系与参数方程）
已知曲线的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数），求直线被曲线截得的线段长度。
D、（选修4-5.不等式选讲）
已知
为正数，且满足
，求证：
【必做题】每题10分，共20分
22、已知四棱锥
的底面是直角梯形，
平面,
若平面
与平面
所成
二面角的余弦值为
，求
的值。
23、已知
，当
时，求证：
⑴
；
⑵
后塍高级中学高三数学答题纸
一、 填空（5*14=70分）
17、（满分15分）
18、（满分15分）
19、（满分16分）
20、（满分16分）
高三数学4月调研测试数学附加题答题纸
 |
22、
23、
后塍高级中学2008～2009第二学期高三数学4月调研测试卷
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15．⑴ ∵ 
，………………… 2分
又∵ 
，∴
而
为斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． …………………………6分
⑵取
中点
，连接
,则
，
∵是菱形，∴
，
∵
为
的中点，∴
，………………10分
∴
．
∴四边形
是平行四边形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ……………………………………14分
17．解：（1）依题意数列
的通项公式是
，
故等式即为
，
同时有
，
两式相减可得
…………………3分
可得数列
的通项公式是
，
知数列是首项为1，公比为2的等比数列。 ………6分
18．解：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+
=88(元)
……………4分
（Ⅱ）（1）当x≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[(
)+(
)+……+2+1]
=
………7分
∴
………8分
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元
…………11分
当x≤7时
当且仅当x=7时
f(x)有最小值
（元）
当x＞7时
=
≥393
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分
19．（1）∵直线
过点
，且与圆
：
相切，
设直线
的方程为
，即
， ……………2分
则圆心
到直线的距离为
，解得
，
∴直线的方程为
，即．…………4分
（2）对于圆方程
,令
，得
,即
．又直线
过点
且与
轴垂直，∴直线方程为
，设
，则直线
方程为
解方程组
,得
同理可得,
……… 10分
∴以
为直径的圆
的方程为
，
又
，∴整理得
，………… 12分
若圆经过定点，只需令
，从而有
，解得
，
∴圆总经过定点坐标为
．
……………………… 14分
22．解：（Ⅰ）
，………………1分
又
，
处的切线方程为
…………3分
（Ⅱ）
，
…………………………………………4分
令
，
则
上单调递增，
上存在唯一零点，
上存在唯一的极值点………6分
取区间
作为起始区间，用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
中点对应导数值
取区间
1
0.6
0.3
由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点
，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。
取得极值时，相应
………………………9分
（Ⅲ）由
，
即
，
，………………………………………12分
令
令
上单调递增，
，
因此
上单调递增，
则
，
的取值范围是
………………………………………16分
数学附加题参考答案及评分标准
因为EA切
于A， 所以∠EAB＝∠ACB．
因为
，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．
于是∠EAB＝∠ACD． ……………………………………………4分
又四边形ABCD内接于，所以∠ABE＝∠D．
所以
∽
．
于是
，即
．
所以
． ……………………………10分
21B．解：设
为曲线
上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点
，
则有
，…………………………………4分
即
所以
……………………………………………………8分
又因为点P在曲线上，所以
，
故有
即所得曲线方程
.………………………………………………… 10分
的极坐标方程化为直角坐标方程为
，
即
，它表示以
为圆心，2为半径的圆， ………………………………4分
直线方程
的普通方程为
，
………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离
，……………………………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为
． ……………………………………10分
21D．解：由柯西不等式，得 
．
………………………………10分
22．以点为坐标原点, 以
分别为
轴,建立如图空间直角坐标系, 不妨设 
则
所以
设平面
的法向量为