云南省曲靖一中2009届高三高考冲刺卷
数学理科(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.
1.设集合,则
A.{,0} B.(0,1,2}
C.{,0,1) D.{,,0,1,2)
2.设且,若复数是纯虚数,则
A. B. C. D.
3.函数的图象
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于直线对称 D.关于坐标原点对称
4.若,则
A. B.
C. D.
5.已知实数、同时满足三个条件:①;② ;③ ,则的
最小值等于
A.3 B.
6.从5名男运动员、4名女运动员中任选4名参加4×
员中既有男运动员又有女运动员的概率是
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数是
A. B. C.4 D.4
8.已知函数,动直线与、的图象分别
交于点、,的取值范围是
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,] D.[1,]
9.设,则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.(0,1)
10.高考资源网正四面体中,是中点,与所成角的余弦值等于
A. B. C. D.
11.高考资源网某等腰三角形的两腰所在的直线方程是与,点(,0)
在等腰三角形的底边上,底边所在直线的斜率等于
A.3 B. C. D.
12.正四面体的内切球与外接球的半径的比等于
A.1:2 B.1:
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.已知向量与共线,则 .
14.设曲线在(1,0)处的切线与直线垂直,直线的倾角是
弧度.
15.曲线的过一个焦点且倾角是135°的弦的长度等于 .
三、解答题:本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在中,,求三角形的面积.
18.(本小题满分12分)
在正三棱柱中,是的中点,在线段上且.
(1)证明面;
(2)求二面角的大小.
19.(本小题满分12分)
关于学平险(即学生平安保险),学生自愿投保,每个投保学生每年交纳保费50元,如果学生发生意外伤害或符合赔偿的疾病,可获得5000元赔偿.假定各投保学生是否出险相互独立,并且每个投保学生在一年内出险的概率均是0.004(说明:此处对实际保险问题作了简化处理).假定一年内5000人投保.
(1)求保险公司在学平险险种中,一年内支付赔偿金至少5000元的概率;
(2)设保险公司办理学平险除赔偿金之外的成本为8万元,求该公司在学平险险种上盈利的期望.
20.(本小题满分12分)
设数列的前项和为,满足.
(1)时,用表示;
(2)求首项的取值范围,使是递减数列.
21.(本小题满分12分)
设函数.
(1)求的单调区间及极值,
(2)如果对任意恒有,求的取值范围.
22.(本小题满分12分)
点是椭圆短轴的一个端点,是椭圆的一个焦点,的延长线与椭圆交于点,直线与椭圆相交于点、,与相交于点(与、不重合).
(1)若是的中点,求的值;
(2)求四边形面积的最大值.
一、
1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
11.D 12.B
1~5略
6.或.
7.解:
.
其展开式中含的项是:,系数等于.
8.解:根据题意:.
9.解:,椭圆离心率为,,.
10.解:依腰意作出图形.取中点,连接、,则,不妨设四面体棱长为2,则是等腰三角形,必是锐角,就是与所成的角,.
11.解:已知两腰所在直线斜率为1,,设底边所在直线斜率为,已知底角相等,由到角公式得:
,解得或.
由于等腰三角底边过点(,0)则只能取.
12.解:如图,正四面体中,是
中心,连,此四面体内切球与外接球具有共同球心.必在上,并且等于内切球半径,等于外接球半径.记面积为,则
,从而.
二、
13..解:,与共线.
14..解:,曲线在(1,0)处的切线与直线垂直,则,的倾角是.
15.曲线 ①,化作标准形式为,表示椭圆,由于对称性.取焦点,过且倾角是135°的弦所在直线方程为:,即②,联立式①与式②.消去y,得:,由弦长公式得:.
16.充要条件①:底面是正三角形,顶点在底面的射影恰是底面的中心.
充要条件②:底面是正三角形.且三条侧棱长相等,
充要条件③:底面是正三角形,且三个侧面与底面所成角相等.
再如:底面是正三角形.且三条侧棱与底面所成角相等;三条侧棱长相等,且三个侧面与底面所成角相等;三个侧面与底面所成角相等,三个侧面两两所成二面角相等.
三、
17.解:,则,,.由正弦定理得
,
.
18.(1)证:已知是正三棱柱,取中点,中点,连,,则、、两两垂直,以、、为、、轴建立空间直角坐标系,又已知,
则.
,,则,又因与相交,故面.
(2)解:由(1)知,是面的一个法向量.
,设是面的一个法向量,则①,②,取,联立式①、②解得,则.
二面角是锐二面角,记其大小为.则
,
二面角的大小,亦可用传统方法解(略).
19.解:已知各投保学生是否出险相互独立,且每个投保学生在一年内出险的概率都是,记投保的5000个学生中出险的人数为,则(5000,0.004)即服从二项分布.
(1)记“保险公司在学平险险种中一年内支付赔偿金至少5000元”为事件A,则
,
.
(2)该保险公司学平险除种总收入为元=25万元,支出成本8万元,支付赔偿金5000元=0.5万元,盈利万元.
由~知,,
进而万元.
故该保险公司在学平险险种上盈利的期望是7万元.
20.解(1):由得,即,
,而
由表可知,在及上分别是增函数,在及上分别是减函数.
.
(2)时,等价于,记,
则,因,
则在上是减函数,,故.
当时,就是,显然成立,综上可得的取值范围是:
22.解:(1)由条件可知椭圆的方程是:
①,直线的方程是 ②,
联立式①、②消去并整理得,由此出发时,是等比数列,
.
(2)由(1)可知,.当时,
,
是递减数列
对恒成立.
,时,是递减数列.
21.解(1):,由解得函数定义域呈.
,由解得,列表如下:
0
0
ㄊ
极大
ㄋ
ㄋ
极小
ㄊ
解得,进而求得中点.
己知在直线上,则.
(2).
设,则,点到直线的距离
.
,由于直线与线段相交于,则,则.
记,则.
其次,,同理求得到的中离:,
设,即,由得.
,
即且时,.
又,当即时,.注意到,由对称性,时仍有
故,进而.
故四边形的面积:
,
当时,.