四川省南充高中高三2009年4月月考
数学（文）(2009.04.15)
命、审题人： 陈 昀 许松柏
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求.
1．已知，则＝
A． B．1 C． D．2-
2. 设a,b是满足ab<0的实数，那么
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
3． 函数的定义域为
A．(－1, 2) B．(－1,0)∪(0, 2) C．(0, 2) D．(－1,0)
5. 已知二项式,则其展开式中常数项是
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
6若函数的最小正周期为，且最大值为，则将图象按向量平移后函数解析式是
A． B．
C． D．．
7．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
8.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3|=
A． B． C． D．4
9. 过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，则直线之间的夹角为
A． B. C. D.
10．我们把球外一点与球面上的一动点之间的距离的最小值叫做该点到球面的距离，则空间一点P(1,4,-2)到球面的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
A．14种 B．12种 C．35种 D．34种
11．已知是方程的解, 是方程的解,函数，则
A． B． C． D．
12． 过点P（1,1）作一直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M，则点M的轨迹方程为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.
13. 等差数列的前项和为，若，则数列的公差 .
14. 给出平面区域Ｇ为区域（包含的边界），其中．若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个．则实数的值为
15．在直三棱柱中，，,Ｅ、Ｆ分别是棱 的中点，则异面直线ＥＦ和所成的角为
16.规定符号 “ * ”表示一种运算,即是正实数,已知，则函数 的值域是
．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设的最大值是5，求k的值.
18．(本小题满分12分) 从神七飞船带回的某种植物种子由于在太空中被辐射,我们把它们称作“太空种子”这种“太空种子”成功发芽的概率为,不发生基因突变的概率为,种子发芽与发生基因突变是两个相互独立事件,科学家在实验室对“太空种子”进行培育,从中选出优良品种.
(1)这种“太空种子”中的某一粒种子既发芽又发生基因突变的概率是多少?
(2)四粒这种“太空种子”中至少有两粒既发芽又发生基因突变的概率是多少?
19．(本小题满分12分)已知数列的首项，前项和为，且（为正整数）.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记，的导函数为，试求的值.
20.(本小题满分12分)如图：D、E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1=8，AB=4，
(1)求证：A1E∥平面BDC1
21．(本小题满分12分) 已知F1,F2是椭圆的左、右焦点。
(1)若Ｐ是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值.
(2)设过定点M（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点Ａ、Ｂ，且为锐角（其中Ｏ为原点），求直线的斜率的取值范围．
22. (本小题满分14分)函数．
（1） 若在处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程在上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围.
二、13. ３ 14.４ 15. 16.
三、解答题
17.解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC. …………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA ………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB= …………………………………………5分
∵0<B<π，∴B= ………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A. ……………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分
设sinA=t，则t∈.
则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………10分
∵k>1，∴t=1时，取最大值.
依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分
18. 解：设某一粒种子成功发芽为事件Ａ，某一粒种子发生基因突变为事件Ｂ则其概率分别是
Ｐ（Ａ）＝,Ｐ（Ｂ）＝ ……………………2分
(1)这种“太空种子”中的某一粒种子既发芽又发生基因突变的概率
……………………7分
(2)四粒这种“太空种子”中至少有两粒既发芽又发生基因突变的概率是 …………………12分
19．解：（！）由已知可得
当时，两式相减得
即.当时，得
，从而，故总有，，
又从而，即数列是以６为首项，２为公比的等比数列.
则. ………6分
（２）由（１）知，， ………8分
从而则
………12分
则由题意得EF∥DA1，且EF=DA1，
∴四边形EFDA1是平行四边形
∴A1E∥FD，又A1E平面BDC1，FD平面BDC1
∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，过点E作
EH⊥BC1于H，连结A1H，则∠A1HE为二面角A1－BC1－B1的平面角 …8分
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1边上的高为，∴EH=，
又A1E=2,∴tan∠A1HE==＞∴∠A1HE＞60°， …11分
∴M在棱AA1上时，二面角M－BC1－B1总大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小为60°的点M. …12分
D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2)，B1(－2,8,0), E(－1,8,),
=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),
=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),
=(2,8, 2).
(1)证明：∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)设=（x,y,1）为平面A1BC1的一个法向量，则，且，即解得∴=（,,1），同理，设=（x,y,1）为平面B1BC1的一个法向量，则，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－
∴二面角A1－BC1－B1为arccos. 即arctan,又∵＞
∴二面角A1－BC1－B1大于60°， ∴M在棱AA1上时，二面角M－BC1－B1总大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小为60°的点M. ………… 12分
21解：（１）易知， ……………………………1分
所以，设，则
……4分
因为，故当时，即点Ｐ为椭圆短轴端点时，有最小值－2，
当时，即点Ｐ为椭圆长轴端点时，有最大值１. ……………………6分
（２）显然直线不满足题设条件; … …………………………7分
可设直线：，，
联立，消去整理得，
，
由得 ① ………9分
又，则又，
又
＝，，
② ……………11分
故由①②得的取值范围是 .………………12分
22.(文)解：（1），由题意得，解得，经检验满足条…4分
（2）由（1）知，，………5分
令，则，（舍去）．
的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
（0，1）
1
－
0
+
－1
ㄋ
－4
ㄊ
－3
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，如图构造在上的图象.
又关于x的方程在上恰有两个不同的实数根，
则，即m的取值范围是． ………8分
（3）解法一：因存在，使得不等式成立，
故只需要的最大值即可，
∵，∴．………………………10分
①若，则当时，，在单调递减．
，∴当时，，
∴当时，不存在，使得不等式成立．……………12分
②当a>0时随x的变化情况如下表：
x
+
0
－
ㄊ
ㄋ
∴当时，，由得.
综上得a>3，即a的取值范围是(3,+∞). … ………………………………14分
解法二：根据题意，只需要不等式在上有解即可，即在上有解. 即不等式在上有解即可. …………………………………10分
令，只需要 ………12分
而，当且仅当，即时“=”成立.
故a>3，即a的取值范围是(3,+∞). ………14分