上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研
数学试卷 （理科） 2009.04
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1．若复数
（
是虚数单位），则
.
2. 已知函数
，
是
的反函数，若
的图像过点
，则
.
3. 用金属薄板制作一个直径为
米，长为
4. 设
、
是平面内一组基向量，且
、
，则向量
可以表示为另一组基向量
、
的线性组合，即
.
5. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为
.
6. 关于x、y的二元线性方程组
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
，则
.
7. 在极坐标系中，设曲线
和
相交于点
、
，则
＝ .
8. 设联结双曲线
与
（
，
）的
个顶点的四边形面积为
，联结其个焦点的四边形面积为
，则
的最大值为
.
9. 将函数
的图像向左平移
（
）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为
.
10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花圃中布置红色鲜花的区域数量为
，则随机变量的数学期望
.
11. 已知数列
是首项为
、公差为1的等差数列，数列
满足
.若对任意的
,都有
成立,则实数的取值范围是
.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程
的一个法向量的是 （ ）
A． 
； B. 
； C. 
; D. 
.
13. 设数列
的首项
且前
项和为
.已知向量
，
满足
，则
（ ）
A. 
； B. 
; C. 
; D. 
.
14. 在△ABC中，“
”是“△ABC为钝角三角形”的 （ ）
A．必要非充分条件； B．充分非必要条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.
15. 现有两个命题：
（1） 若
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是集合
；
（2） 若函数
，
的图像与函数
的图像没有交点，则的取值范围是集合
；
则以下集合关系正确的是 （ ）
A． 
； B. 
； C. 
； D. 
.
三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
16. （本题满分12分）过抛物线
的焦点
且方向向量为
的直线
交该抛物线于、两点，求
的值.
17. （本题满分14分） 已知复数
，
（是虚数单位），且
.当实数
时，试用列举法表示满足条件的
的取值集合.
18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
若，
（
、
）.
(1) 求
的值；
（2）求证：数列各项均为奇数.
19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部
是矩形，其中
米，
米.上部
是个半圆，固定点
为
的中点.
是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），
是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和
平行的伸缩横杆（和
不重合）.
（1）当和之间的距离为
的通风面积；
（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积
（平方米）表示成关于的函数
；
（3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.
20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
如图，四棱锥
中，
平面，四边形是直角梯形，其中
，
. 
，
.
（1） 求异面直线
与
所成角的大小；
（2） 若平面内有一经过点
的曲线，该曲线上的任一动点都满足
与所成角的大小恰等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由；
（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线
上的动点，其中
为曲线和
的交点. 以为圆心，
为半径的圆分别与梯形的边、
交于
、
两点. 当点在曲线段
上运动时，试提出一个研究有关四面体
的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决.
【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研
一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：
1. 
； 2.
理：2；文：
； 3. 理：1.885；文：2；
4. 理：
；文：1.885； 5. 理：
；文：4； 6. 理：
；文：；
7. 理：
；文：； 8. 理：
；文：6； 9. 理：
；文：
；
10. 理：1； 文：； 11. 理：
；文：； 12. 文：；
二、选择题（每题4分，总分16分）：
题号
理12；文13
理13；文14
理：14；文：15
理15；文：16
答案
A
C
B
C
三、解答题：
16.（理，满分12分）
解：因为抛物线的焦点
的坐标为
，设
、
，
由条件，则直线
的方程为
，
代入抛物线方程
，可得
，则
.
于是，
.
…2
…4
…8
…12
17.（文，满分12分）
解：因为
，所以由条件可得
，
.
即数列
是公比
的等比数列.
又
，
所以，
.
…4
…6
…8
…12
（理）17.（文）18. （满分14分）
解：因为
所以，
即
或
，
或
，
又由
，即
当
时，
或
；当
时，
或
.
所以，集合
.
…3
…7
…11
…14
18.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）
解：（1）当
时，
故
，
，所以
.
（2）证：由数学归纳法
（i）当
时，易知
，为奇数；
（ii）假设当
时，
，其中
为奇数；
则当
时，
所以
，又
、
，所以
是偶数，
而由归纳假设知是奇数，故
也是奇数.
综上（i）、（ii）可知，
的值一定是奇数.
证法二：因为
当
为奇数时，
则当时，是奇数；当
时，
因为其中
中必能被2整除，所以为偶数，
于是，必为奇数；
当为偶数时，
其中
均能被2整除，于是必为奇数.
综上可知，
各项均为奇数.
…3
…6
…8
…10
…14
…15
…10
…14
…15
19. （文，满分14分）
解：如图，设
中点为
，联结
、
.
由题意，
,
,所以
为等边三角形，
故
，且
.
又
，
所以
.
而圆锥体的底面圆面积为
,
所以圆锥体体积
.
…3
…8
…10
…14
（理）19. （文）20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：（1）由题意，当
和
之间的距离为应位于
上方，
且此时
中边上的高为
又因为
米，可得
米.
所以，
平方米，
即三角通风窗
的通风面积为
平方米.
（2）1
如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即
时，
的面积
；
2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即
时，
，故可得的面积
；
综合可得：
（3）1当在矩形区域滑动时，
在区间
上单调递减，
则有
；
2当在半圆形区域滑动时，
，
等号成立
，
.
因而当
（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为
（平方米）.
…2
…4
…6
…9
…10
…12
…15
…16
21（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
解：（1）设右焦点坐标为
（
）.
因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为
，
由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且
.
于是可知，
为等腰直角三角形，则由
，
又由等轴双曲线中，
.
即，等轴双曲线
的方程为
.
（2）设、为双曲线直线的两个交点.
因为
，直线的方向向量为
，直线的方程为
.
代入双曲线的方程，可得
，
于是有
而
.
（3）假设存在定点
，使
为常数，其中
，
为直线与双曲线的两个交点的坐标.
①当直线与
轴不垂直时，设直线的方程为
代入，可得
.
由题意可知，
，则有
，
．
于是，
要使是与
无关的常数，当且仅当
，此时
.
②当直线与轴垂直时，可得点
,
，
若，亦为常数.
综上可知，在轴上存在定点
，使为常数.
…3
…5
…7
…9
…11
…13
…16
…17
…18
20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
解：（1）解法一：由题意，四边形
是直角梯形，且∥，
则
与所成的角即为
.
因为
，又
平面，
所以
平面
，则有
.
因为
，,
所以
，则
，
即异面直线与所成角的大小为
.
解法二：如图，以
为原点，直线为轴、直线为
轴、直线
为
轴，
建立空间直角坐标系.
于是有
、
，则有
，又
则异面直线与所成角
满足
,
所以，异面直线 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com与